Problema74: VAC

Ej74. Una máquina A produce y envasa cierto producto a razón de 100 unidades por caja. Cada unidad tiene un peso N(8, 3) gramos. Otra máquina B hace lo mismo pero el peso de cada unidad es uniforme entre 5 y 11 gramos.

Una norma indica que una caja debe pesar entre 760 y 840 gramos.

Hallar la probabilidad de que una caja procedente de la máquina A sea rechazada y la probabilidad de que una caja procedente de la máquina B sea rechazada.


Realizamos una recopilación de datos que nos ofrece el problema:

· A ≡ 'Máquina A que produce y envasa cierto producto'.
· B ≡ 'Máquina B que produce y envasa cierto producto'.

Dichas variables siguen las distribuciones siguientes:

· A ~ N(8, 3) gramos/unidad.
· B ~ U(5, 11) gramos/unidad.

Hay que tener en cuenta que una caja consta de 100 unidades para ambas máquinas, por lo que nuestras variables aleatorias se deben ajustar a dicha cantidad:

· A ~ N(8·100, 3·100) = N(800, 300).

Para el evento B, vamos a obtener la media y su varianza para una caja teniendo en cuenta que es una distribución uniforme:

La media de la distribución uniforme viene dada por:

Por lo tanto, el valor de la media es:

μ = (500+1100)/2 = 800

Y la varianza de la distribución uniforme viene expresada por:

Sustituimos valores para obtener la varianza:

σ² = (1100-500)²/(12·100) = 300

Podemos representar el evento B como una distribución Normal con los siguientes parámetros:

· B ~ N(800, 300).

Vemos que tanto el evento A cómo el B son iguales, por lo que ambos tendrán la misma probabilidad de que la caja sea rechazada.

Debemos obtener la siguiente probabilidad:

P(Rechazo) = 1 - P(760 ≤ X ≤ 840)

Tipificamos:

Manipulamos la expresión:

P(Rechazo) ≈ 1 - P(-2.31 ≤ Z ≤ 2.31) = 1 - [(0.5 + Φ(2.31)) - (1 - (0.5 + Φ(2.31)))]

Operamos:

P(Rechazo) ≈ 1 - [Φ(2.31) + Φ(2.31)] = 1 - 2Φ(2.31)

Buscamos en las tablas de la Normal expuestas en este blog, para dar cómo resultado final:

P(Rechazo) ≈ 1 - 2Φ(2.31) = 1 - 2·0.4896 = 0.0208

Por lo tanto, la probabilidad de que una caja procedente de la caja A o de la caja B sea rechazada es de 0.0208.