Problema64: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Ej64. Se efectúa un estudio sobre el color de los escarabajos tigre para conseguir pruebas que apoyen el argumento de que la proporción de escarabajos negros puede variar de un lugar a otro.

En una muestra de 500 escarabajos capturados en una extensión próxima a Providence, Rhode Island, 95 eran negros. Una captura de 112 escarabajos en Aqueduct, Nueva York, contenía 17 individuos negros.

A la vista de estos datos, ¿qué se puede decir sobre el argumento anterior?

NOTA: Suponer normalidad con α = 0.05.


Realizamos una recopilación de datos que nos ofrece el enunciado del problema.

● Providence, Rohde Island:

· ṗ₁ = 95/500 = 0.19.
· n₁ = 500.

● Aqueduct, New York:

· ṗ₂ = 17/112.
· n₂ = 112.

Debemos realizar un contraste sobre diferencia de proporciones, pero para ello, se deben cumplir las siguientes condiciones:

· n₁·ṗ₁ = 500·0.19 = 95 ≥ 5...OK
· n₁·(1 - ṗ₁) = 500·(1 - 0.19) = 405 ≥ 5...OK

· n₂·ṗ₂ = 112·17/112 = 17 ≥ 5...OK
· n₂·(1 - ṗ₂) = 112·(1 - 17/112) = 95 ≥ 5...OK

· n₁ = 500 ≥ 30.. OK
· n₂ = 112 ≥ 30...OK

Se cumplen todos los requisitos.

Prueba de hipótesis sobre diferencia de proporciones:

El estadístico es:

Obtenemos el valor del estadístico:

Para comprobar si aceptamos o rechazamos la hipótesis nula, empleamos la región crítica, que para esta prueba es:

Z ≤ -z_α/2 , Z ≥ z_α/2

Para un nivel de significación de: α = 0.05, tenemos, en la tabla Normal:

· z_α/2 = z_0.05/2 = z_0.025

Teniendo en cuenta las condiciones de la tabla que dispone este blog, adecuamos el valor:

0.5 - 0.025 = 0.475

Buscamos en la tabla de la Normal y tenemos el valor: z = 1.96.

Realizamos una concepción gráfica de los datos hasta ahora obtenidos:

El valor del estadístico, 1.009941 se encuentra dentro de la región crítica (-1.96, 1.96), por lo tanto, aceptamos la hipótesis nula

Esto quiere decir que, existen evidencias significativas de que la proporción de escarabajos negros es la misma en ambos sitios.