Problema95: Probabilidad

Ej95. De un grupo de personas, el 30% practica fútbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas, el 50% juega ajedrez.

Si se selecciona aleatoriamente una persona, obtener:

a) La probabilidad que juegue fútbol o ajedrez.

b) La probabilidad que practique solo uno de estos deportes.

c) La probabilidad que no practique ni fútbol ni ajedrez.


Realizamos una recopilación de datos dados por el enunciado del problema:

· E ≡ 'Juega al fútbol'.
· O ≡ 'Juega al ajedrez'.

· P(E) = 0.3.
· P(O) = 0.4.
· P(O|E) = 0.5.

Pasamos a resolver los apartados que nos propone el enunciado del problema.


Apartado a)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de que al escoger un individuo al azar, éste juegue al fútbol o al ajedrez:

P(E ∪ O) = P(E) + P(O) - P(E ∩ O)

Donde (mediante la regla de la multiplicación):

· P(E ∩ O) = P(O|E)·P(E)

Sustituimos para obtener la solución a este apartado:

P(E ∪ O) = P(E) + P(O) - P(E ∩ O) = P(E) + P(O) - P(O|E)·P(E) = 0.3 + 0.4 - 0.5·0.3 = 0.55

Por lo tanto, la probabilidad de que el individuo juegue al fútbol o al ajedrez es de 0.55.


Apartado b)

En este apartado nos piden que obtengamos la probabilidad de que al seleccionar, al azar, un individuo éste, solo juegue al fútbol o al ajedrez:

· P[(E ∩ Ō) ∪ (Ē ∩ O)]

Manipulamos la expresión anterior:

· P[(E ∩ Ō) ∪ (Ē ∩ O)] = P(E ∩ Ō) + P(Ē ∩ O) - P[(E ∩ Ō) ∩ (Ē ∩ O)] = P(E ∩ Ō) + P(Ē ∩ O) - P[(E ∩ (1 - O)) ∩ ((1 - E) ∩ O)]

Por el momento, nos vamos a centrar en el tercer miembro. Simplificamos:

· P[(E ∩ Ō) ∪ (Ē ∩ O)] = P(E ∩ Ō) + P(Ē ∩ O) - P[(E - (E ∩ O)) ∩ (O - (E ∩ O))]

Operamos:

· P[(E ∩ Ō) ∪ (Ē ∩ O)] = P(E ∩ Ō) + P(Ē ∩ O) + P(E ∩ O) - P(E ∩ O) - P(E ∩ O) + P(E ∩ O)

Volvemos a simplificar:

· P[(E ∩ Ō) ∪ (Ē ∩ O)] = P(E ∩ Ō) + P(Ē ∩ O)

Llegados a este punto, vamos a manipular la expresión resultante:

· P[(E ∩ Ō) ∪ (Ē ∩ O)] = P[E ∩ (1 - O)] + P[(1 - E) ∩ O] = P(E) - P(E ∩ O) + P(O) - P(E ∩ O)

Simplificamos:

· P[(E ∩ Ō) ∪ (Ē ∩ O)] = P(E) + P(O) - 2·P(E ∩ O) = P(E) + P(O) - 2·P(O|E)·P(E)

Y por fin, sustituimos valores para obtener la solución a este apartado:

· P[(E ∩ Ō) ∪ (Ē ∩ O)] = P(E) + P(O) - 2·P(O|E)·P(E) = 0.3 + 0.4 - 2·0.5·0.3 = 0.4

Por lo tanto, la probabilidad de que el individuo juegue solo al fútbol o solo al ajedrez es de 0.4.


Apartado c)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de que el individuo escogido, no juegue ni al fútbol ni al ajedrez:

· P(Ē ∪ Ō) = 1 - P(E ∪ O)

Nos apoyamos en el resultado obtenido en el primer apartado para obtener la solución a este apartado:

· P(Ē ∪ Ō) = 1 - P(E ∪ O) = 1 - 0.55 = 0.45

Por lo tanto, la probabilidad de que dado que el individuo escogido al azar, no juegue ni al fútbol ni al ajedrez es de 0.45.