Problema1: Circuitos de 2º Orden

Ej1. El interruptor de la figura permanece abierto durante un largo período de tiempo. En el instante t = 0, se cierra el interruptor.

Obtener, teniendo en cuenta que el condensador tiene un voltaje inicial de 60 V antes de cerrarse el interruptor:

a) La evolución de i(t).

b) Cuándo alcanza su valor máximo y el valor de éste.



Apartado a)

Antes de entrar en materia, vamos a prestar atención a las condiciones que nos expone el enunciado del problema.

· Nos indica que antes de cerrarse el interruptor, éste ha estado en esta posición durante un largo período de tiempo y que el condensador presenta una carga inicial: V_c(0^-) = 60 V.

Al no indicarnos, el enunciado del problema, nada respecto a la carga inicial del inductor, lo consideramos cómo descargado: i_L(0^-) = 0 A.

Una vez analizadas las condiciones iniciales del problema, vamos a abordarlo teniendo en cuenta la posición del interruptor.


· t < 0: S₁ Abierto.

El enunciado nos advierte que en esta posición ha estado durante un largo período de tiempo, por lo que el circuito que vamos a tener estará, solo, en régimen permanente.

No creo que haga falta dibujar el circuito, el condensador se comportará como un circuito abierto y el inductor como un corto circuito.

Teniendo en cuenta las condiciones que el problema nos ofrece, tenemos:

· i_p = i_Lp = 0 A.
· V_cp = 60 V.

Cerramos el interruptor, analizamos el comportamiento.

· t = 0: S₁ Cerrado.

El circuito que tenemos es el siguiente:

En estas condiciones, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (i_n) y por el otro: El régimen permanente (i_p). La solución general será del tipo:

· i(0⁺) = i_p + i_n

Así que vamos a obtener los dos por separado.


· Régimen Permanente:

Este caso, el interruptor S₁ ha estado cerrado durante un largo período de tiempo, por lo que, al no haber ninguna fuente (ni de tensión, ni de corriente), el condensador se descargará completamente.

Por lo que, los datos que tendremos son:

· i_p = i_Lp = 0 A.
· V_cp = 0 V.


· Régimen Transitorio:

El condensador se irá descargando, realizamos el análisis mediante LVK:

· [Ec1] i_n·R₁+ L₁·Di_n + (1/DC₁)·i_n = 0

Multiplicamos por el operador D y dividimos por L₁:

· [Ec2] D² i_n + Di_n·(R₁/L₁) + (1/L₁·C₁)·i_n = 0

Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 2º Orden, que sabemos que debe ser del tipo:

· s² + 2α·s + w²₀ = 0

Y en este caso, los parámetros α y w₀ son:

· Factor de amortiguamiento ≡ α = R₁/(2·L₁) = 200/(2·1) = 100
· Frecuencia natural ≡ w₀ = √[ (1/L₁·C₁)] = √[ (1/1·100·10^-6)] = √10000 = 100 rad/s

Y teniendo el valor de estos dos parámetros, podemos determinar cual es el comportamiento de nuestro circuito. En nuestro caso:

· α = w₀ = 100

Al ser ambos parámetros iguales, el comportamiento de nuestro circuito es: Respuesta Amortiguamiento Crítico, cuya solución a la respuesta homogénea es:

· i_n(t) = k₁·e^s1·t + k₂·t·e^s1·t

Dónde:

· s₁ = - α = - 100

Por lo tanto, la solución completa es, la compuesta por la respuesta permanente más la respuesta transitoria:

· i(t) = i_p + i_n = 0 + k₁·e^-100·t + k₂·t·e^-100·t = k₁·e^-100·t + k₂·t·e^-100·t

Ya tenemos la estructura de cómo será la evolución de la intensidad al cerrarse el interruptor de nuestro circuito. Nos falta obtener los valores de los parámetros.

Para ello, vamos a aplicar las condiciones iniciales de los componentes que forman nuestro circuito.


· Inductor:

La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El inductor de nuestro circuito, está descargado completamente:

· i(0^-) = 0 A

En el instante t = 0:

· i(0^-) = i(0⁺)

Por lo tanto:

· 0 = k₁·e^-100·0 + k₂·0·e^-100·0 = k₁

Despejamos:

· k₁ = 0

Ya tenemos el valor del primer parámetro, ahora vamos a por el del segundo parámetro, para ello, analizamos las condiciones iniciales del siguiente componente, en nuestro caso, las condiciones iniciales del condensador.


· Condensador:

La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El condensador de nuestro circuito, presenta una carga inicial:

· V_c(0^-) = 60 V.

Hay varias maneras de abordar este aspecto, quizás la más fácil sea mediante un análisis del circuito pero teniendo en cuenta solo la tensión inicial del condensador, nosotros vamos a tomar otra vía, y es la de la propia definición de la tensión del condensador:

· [Ec3] V_c(t) = (1/DC₁)·i_c

Ya sabemos la intensidad que circula por el condensador, al estar todos los elementos en serie, es la misma que la que nos requiere el enunciado del problema:

· i_c(t) = i(t) = k₂·t·e^-100·t

Sustituimos en [Ec3]:

· V_c(t) = (1/DC₁)·k₂·t·e^-100·t

Realizamos la integral:

· V_c(t) = - (1/10000C₁)·k₂(100·t + 1)·e^-100·t

· NOTA: No se muestra cómo se ha obtenido la integral ya que no es difícil, en este caso, se puede hacer por partes. Si alguien desea la resolución de dicha integral, que lo comente por comentarios y se le proporcionará, aún así, os dejo el comando de cómo obtenerla mediante el programa wxMaxima:

>> integrate(k2*t*%e^(-100*t), t);

En el instante t = 0:

· V_c(0^-) = V_c(0⁺)

Por lo tanto:

· 60 = - (1/10000C₁)·k₂(100·0 + 1)·e^-100·0 = - (1/10000C₁)·k₂

Despejamos el parámetro que deseamos obtener y sustituimos por el valor del condensador:

· k₂ = - 60·10000·100·10^-6 = - 60

Ya hemos obtenido ambos parámetros, por lo que, una expresión para la corriente del circuito es:

· i(t) = - 60·t·e^-100·t, t ≥ 0


Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de la corriente, dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, es:

Cuya representación gráfica es:

Apartado b)

Este apartado es un poco particular, ya que podríamos decir que es puramente matemático, es decir, para obtener en qué instante nuestra función de la corriente, obtenida en el apartado anterior, alcanza su punto máximo o mínimo, debemos emplear la primera y segunda derivada.

Vamos paso por paso, primero, obtenemos en qué instante nuestra corriente llega a su punto máximo o mínimo, para ello, aplicamos la primera derivada de nuestra función:

· Di(t) = 6000·t·e^-100·t - 60·e^-100·t

Igualamos a cero:

· 0 = 6000·t·e^-100·t - 60·e^-100·t

Simplificamos:

· 0 = 6000·t - 60

Y despejamos:

· t = 60/6000 = 10 ms.

Esto quiere decir que, en el instante t = 10 ms, nuestra función de la corriente, obtenida en el apartado anterior, alcanzará su valor máximo o mínimo.

Ahora bien, para saber si es un máximo o un mínimo, debemos obtener su segunda derivada:

· D²i(t) = 6000·t·e^-100·t - 6·10⁵ ·t·e^-100·t + 6000e^-100·t = 12·10³·e^-100·t - 6·10⁵ ·t·e^-100·t

Y la evaluamos en el instante obtenido anteriormente, t = 10 ms (si el resultado es positivo, será un mínimo, en caso contrario, será un máximo):

· D²i(10ms) = 12·10³·e^-100·0.01 - 6·10⁵ ·0.01·e^-100·0.01 ≈ 2.2073·10³

En otras palabras, es positivo, por lo tanto, podemos determinar que, en el instante t = 10 ms, la corriente del circuito alcanzará su valor mínimo, cuyo valor es:

· i(10ms) = - 60·0.01·e^-100·0.01 ≈ - 0.2207277 A , t ≥ 0

En otras palabras, en el instante t = 10 ms, la corriente alcanzará su valor mínimo de, aproximadamente, - 220.7277 mA.

Como comprobación, podemos ver, en la gráfica de la corriente del apartado anterior, que los cálculos obtenidos en este apartado coinciden.

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Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 1: Transitorios de 2º Orden

Problema 1 Problema 1 Problema 1