Aqueronte: Problema10: Circuitos de 1º Orden

Ej10. El interruptor de la figura permanece cerrado durante un largo período de tiempo. En el instante t = 0, se abre el interruptor.

Obtener la evolución de i_L(t) e i₁(t).

Antes de entrar en materia, vamos a prestar atención a las condiciones que nos expone el enunciado del problema.

· El interruptor ha estado cerrado durante un largo período de tiempo: Esto significa que el circuito está en régimen permanente y por ende, los inductores se han cargado completamente y su comportamiento es de corto circuito.

Una vez analizadas las condiciones iniciales del problema, vamos a abordarlo teniendo en cuenta la posición del interruptor.

· t < 0: S₁ Cerrado.

El enunciado nos advierte que en esta posición ha estado durante un largo período de tiempo, por lo que el circuito que vamos a tener estará, sólo, en régimen permanente.

El circuito que tenemos es el siguiente:

Obtener las intensidades es fácil, ya que todos los elementos están en paralelo con la fuente de tensión, por lo tanto, aplicando la Ley de Ohm:

· i_1p = 18/90 = 0.2 A.
· i_Lp = 18/50 = 0.36 A.

· t = 0: S₁ Abierto.

El circuito que tenemos es el siguiente:

Para simplificar los cálculos y mayor claridad, vamos a simplificar el circuito asociando ciertos elementos (los que están marcados en la figura anterior), obteniendo su equivalente:

Donde:

· R_equ = (60 + 120) || 90 = [(60 + 120)·90]/(60 + 120 + 90) = 60 Ω
· L_equ = (2·10^-3 || 3·10^-3) + 1·10^-3 = 2.2 mH

En estas condiciones, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (i_n) y por el otro: El régimen permanente (i_p). La solución general será del tipo:

· i(0⁺) = i_p + i_n

Así que vamos a obtener los dos por separado.

· Régimen Permanente:

Este caso, tanto el interruptor S₁ ha estado abierto durante un largo período de tiempo, por lo que, el inductor equivalente se cargará completamente y se comportará como un corto circuito.

No nos hace falta poner el circuito equivalente ya que, la corriente será nula por la descarga del inductor equivalente:

· i_1p = 0 A.
· i_Lp = 0 A.

· Régimen Transitorio:

El inductor equivalente se está cargando, realizamos el análisis mediante LVK:

· [Ec1] i_Ln·(50 + 60) + 2.2·10^-3·Di_Ln = 0

Dividimos por 2.2·10^-3:

· [Ec2] Di_Ln + 50000·i_Ln = 0

Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden que a su vez, es la ecuación homogénea. Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· i_Ln(t) = k·e^-A·t

Realizamos la primera derivada y sustituimos en [Ec2]:

- k·A·e^-A·t + 50000·k·e^-A·t = 0

Analizamos en circuito en el instante t = 0 (el interruptor S₁ se abre), por lo tanto:

- k·A + 50000·k = 0

Despejamos el parámetro A:

· A = 50000 s^-1

Por lo tanto, la constante de tiempo en el instante t = 0 es:

· τ = 1/A = 1/50000 = 20 μs

Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del inductor.

· Inductor: La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.

El inductor equivalente está previamente cargado:

· i(0^-) = 0.36 A

En el instante t = 0:

· i(0^-) = i(0⁺)

Por lo tanto:

· 0.36 = i_Lp + i_Ln = 0 + k·e^-50000·t

Para el instante t = 0, tenemos:

· 0 + k = 0.36

Despejamos k:

· k = 0.36

Así que, una expresión para la corriente del circuito es:

· i_L(t) = 0.36·e^-50000·t, t > 0

Una vez tenemos ya totalmente identificada la evolución de la corriente que atraviesa al inductor y por ende, una de las que nos pide el enunciado del problema, vamos a obtener la tensión que nos falta: i₁(t).

Para obtenerla, vamos a hallar la tensión del resistor equivalente de R_equ = 60 Ω, una vez obtenida, será fácil hallar la intensidad que nos piden mediante la Ley de Ohm.

Vamos por partes, primero, obtenemos la tensión mencionada:

· V_60Ω= R_equ·i_L(t) = 60·0.36·e^-50000·t = 21.6·e^-50000·t, t > 0

Teniendo en cuenta el convenio de signos:

· V_60Ω= - V_90Ω= - 21.6·e^-50000·t, t > 0

Ahora, obtenemos la intensidad que nos piden mediante la Ley de Ohm:

· i₁(t) = - V_90Ω/R_90Ω= - (21.6/90)·e^-50000·t = - 0.24·e^-50000·t, t > 0

Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de las corrientes, dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, son:

· Para i_L(t):