Transitorios: Circuitos de 2º Orden

En este capitulo analizaremos los circuitos llamados de 2º Orden, son aquellos en los que podemos encontrar Resistores, Bobinas y Condensadores, generalmente, podemos clasificarlos de dos maneras:

· Circuitos de Segundo Orden Sin Fuentes de Excitación: Son aquellos circuitos dónde no encontramos ninguna fuente de excitación (ya sea de intensidad o de tensión).
· Circuitos de Segundo Orden Con Fuentes de Excitación: Son aquellos circuitos dónde podemos encontrar fuentes de excitación (ya sea de tensión o intensidad).

Ejemplos concretos, al igual que con los circuitos de 1º Orden, los vamos a encontrar en la parte de problemas dedicados a este capitulo, por lo que vamos a exponer de manera matemática (es decir, general), la forma de abordar este tipo de circuitos.

Para empezar, se le denominado circuitos de 2º Orden ya que la ecuación que define el comportamiento del circuito es una ecuación diferencial de 2º Orden, suele ser del tipo siguiente:

Dónde:

· f(t) ≡ Es la respuesta o variable que deseamos calcular.
· A y B ≡ Son constantes.
· e_g(t) ≡ La excitación (generalmente, será una función temporal).

Este tipo de ecuaciones (ecuación diferencial de 2º Orden), tiene una solución completa de la siguiente forma:

f(t) = f_h(t) + f_p(t)

Como podemos ver, la solución tiene dos partes, una es la solución de la ecuación homogénea (f_h) y la otra, es la solución particular (f_p) también llamada la respuesta forzada y es del mismo tipo que la excitación.


Para obtener una solución a la respuesta homogénea, debemos obtener la solución a la ecuación diferencial homogénea:

En consecuencia, la ecuación que satisface el problema homogéneo se denomina: ecuación característica y viene definida por:

· s² + A·s + B = 0

Otra manera de expresar (más común) la ecuación característica anterior en términos de: α y w₀ es:

· s² + 2α·s + w²₀ = 0

Cuyas raíces son:

· s₁ = -α + (α²- w²₀)^1/2
· s₂ = -α - (α²- w²₀)^1/2

Donde podemos encontrarnos tres tipos de soluciones dependiendo de la relación de los parámetros: α y w₀, éstas son:

· Respuesta Sobreamortiguada: α > w₀

La solución de la respuesta homogénea será del tipo:

· f_h(t) = k₁·e^s1·t + k₂·e^s2·t

· Respuesta Amortiguamiento Crítico: α = w₀

La solución de la respuesta homogénea será del tipo:

· f_h(t) = k₁·e^s1·t + k₂·t·e^s1·t

Dónde:

· s₁ = -α

· Respuesta Subamortiguada: α < w₀

La solución de la respuesta homogénea será del tipo:

· f_h(t) = e^-α·t·[k₁·cos(w_d·t) + k₂·sin(w_d·t)]

Dónde:

· w_d = (w²₀ - α²)^1/2

Bien, para obtener las constantes k₁ y k₂, debemos aplicar las condiciones iniciales del problema que estemos resolviendo (por ejemplo, que la bobina o el condensador esté cargado con una cierta carga inicial o no).

Y para finalizar, la solución particular (f_p) corresponde a la respuesta forzada o permanente y, su expresión depende del tipo de excitación.

Entraremos en más profundidad en los siguientes problemas:

Problemas: Circuitos de 2º Orden
Problema 1	Problema 11
Problema 2	Problema 12
Problema 3	Problema 13
Problema 4	Problema 14
Problema 5	Problema 15
Problema 6	Problema 16
Problema 7	Problema 17
Problema 8	Problema 18
Problema 9	Problema 19
Problema 10	Problema 20

· NOTA: Para obtener la solución a este tipo de circuitos, podemos resolverla ecuación diferencial (tal y cómo se ha explicado, de manera general, anteriormente) o, emplear la transformada de Laplace.

En la resolución de los problemas se ha empleado el operador D, el cual equivale al operador diferencial:

· D = d/dt

También es interesante emplear calculadoras o software matemático (tipo Maxima, Maple, Matlab, etc) para obtener la solución más rápidamente.