Teniendo en cuenta que, tanto el condensador como el inductor presentan una carga inicial de vC(0-) = 40 V e iL(0-) = 8 A, respectivamente, obtener:
a) La evolución de v(t).
b) La evolución de la corriente que atraviesa al inductor.
Apartado a)
Vamos a analizar el circuito, dado por el enunciado del problema, alrededor del instante t = 0.
· t < 0.
Antes del instante t = 0, el enunciado nos dice que tanto el condensador como el inductor presentan una carga inicial de:
· VCp = 40 V
· iLp = 8 A
Al estar ambos componentes cargados, se supone que su comportamiento está en régimen permanente.
La evolución de la tensión requerida es fácil, ya que es la propia tensión del condensador:
· v(t) = VCp = 40 V
Ahora, pasamos a estudiar el circuito en el instante t = 0.
· t = 0.
Cuando tenemos elementos cargados, como en este caso, podemos dibujar el circuito equivalente en función de dichos elementos:
· Condensador: Un condensador sin polaridad y de la misma capacidad pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de tensión lineal en serie de valor y polaridad a la carga inicial del condensador.
· Inductor: Un inductor del mismo valor, con una fuente de corriente lineal en paralelo de valor y polaridad a la carga inicial del inductor.
Por lo tanto, teniendo en cuenta dichas premisas, el circuito que tenemos es el siguiente:
· NOTA: Tanto el condensador C2 cómo el inductor L2 es de la misma capacidad e inductancia respectivamente, que el condensador inicial del circuito (C1) y la inductancia inicial del circuito (L1), pero no tiene la misma polaridad, aparte, el condensador no tiene ninguna carga inicial, es por ello, que al no ser el mismo (ya que hemos empleado las condiciones de equivalencia para cuando existen elementos cargados), se ha nombrado cómo: C2 y L2.
En estas condiciones, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (vn) y por el otro: El régimen permanente (vp). La solución general será del tipo:
· v(0+) = vp + vn
Así que vamos a obtener los dos por separado.
· Régimen Permanente:
Este caso, el circuito ha estado en la configuración presentada, durante un largo período de tiempo, tanto el condensador cómo el inductor se descargarán.
Por lo que, los datos que tendremos son:
· vp = 0 V.
Y evidentemente, la carga de ambos elementos serán nulas ya que se descargarán:
· VCp = 0 V
· iLp = 0 A
· Régimen Transitorio:
Tanto el condensador cómo el inductor se irán descargando, realizamos el análisis mediante LCK en el nodo A:
· [Ec1] iR1 + iL2 + iC2 = 0
Sustituimos por sus expresiones en [Ec1]:
· vn·(1/R1) + (1/L2D)·vn + 8 + C2·D(vn - 40 ) = 0
Multiplicamos por el operador D y dividimos por C2:
· [Ec2] D2 vn + Dvn·(R1·C2) + (1/L2·C2)·vn = 0
Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 2º Orden Homogénea, que sabemos que debe ser del tipo:
· s2 + 2α·s + w20 = 0
Y en este caso, los parámetros α y w0 son:
· Factor de amortiguamiento ≡ α = 1/(2·R1·C2) = 1/(2·8·12.5·10-3) = 5
· Frecuencia natural ≡ w0 = √[ (1/L2·C2)] = √[ (1/5·12.5·10-3)] = √16 = 4 rad/s
Y teniendo el valor de estos dos parámetros, podemos determinar cual es el comportamiento de nuestro circuito. En nuestro caso:
· α > w0
Al ser la frecuencia natural menor que el factor de amortiguamiento, el comportamiento de nuestro circuito es: Respuesta Sobreamortiguada, cuya solución a la respuesta homogénea es:
· vn(t) = k1·es1·t + k2·es2·t
Dónde:
· s1 = - α + (α2- w20)1/2 = - 5 + (52- 42)1/2 = - 2
· s2 = - α - (α2- w20)1/2 = - 5 - (52- 42)1/2 = - 8
Por lo tanto, la solución completa es, la compuesta por la respuesta permanente más la respuesta transitoria:
· v(t) = vp + vn = 0 + k1·e-2t + k2·e-8t = k1·e-2t + k2·e-8t
Ya tenemos la estructura de cómo será la evolución de la tensión requerida para este instante de tiempo. Nos falta, obtener los valores de los parámetros.
Para ello, vamos a aplicar las condiciones iniciales de los componentes que forman nuestro circuito.
· Condensador:
La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El condensador de nuestro circuito, presenta la siguiente carga de tensión inicial:
· vC(0-) = 40 V
En el instante t = 0:
· vC(0-) = vC(0+)
Por lo tanto:
· 40 = k1·e-2·0 + k2·e-8·0 = k1+ k2
Simplificamos:
· [Ec3] k1+ k2 = 40
Tenemos una ecuación con dos incógnitas, vamos a obtener la segunda ecuación para tener un sistema consistente y poder obtener los parámetros mencionados, para ello, aplicamos las condiciones iniciales del otro elemento del circuito.
· Inductor:
La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El inductor de nuestro circuito, presenta una carga de corriente inicial:
· iL1(0-) = 8 A.
Hay varias maneras de abordar este aspecto, la más directa es mediante la expresión matemática que describe el comportamiento de la corriente del inductor , pero quizás, sea la más compleja (aún así, se expone más abajo cómo obtenerla mediante el uso de wxMaxima).
En nuestro caso, vamos a ir por el camino más sencillo, y en este caso es volver a realizar un análisis LCK al nuestro circuito, obteniendo el mismo resultado que anteriormente en [Ec1]:
· [Ec1] iR1 + iL2 + iC2 = 0
Si nos fijamos en el circuito, la corriente del inductor es:
· iL2(0+) = 8 A
Sustituimos en [Ec1]:
· v(t)·(1/R1) + 8 + C2·Dv(t) = 0
Reordenamos la expresión y dividimos por C2:
· [Ec4] Dv(t) + v(t)·(1/C2·R1) = - 8/C2
La estructura de la tensión requerida, la hemos calculado anteriormente, siendo:
· v(t) = k1·e-2t + k2·e-8t
Obtenemos su derivada:
· Dv(t) = -2k1·e-2t - 8k2·e-8t
Y en el instante t = 0, tanto la tensión como su derivada son:
· v(0) = k1 + k2
· Dv(0) = - 2k1 - 8k2
Ahora, sustituimos en [Ec4]:
· (k1 + k2)/(C2·R1) - 2k1 - 8k2 = - 8/C2
Sustituimos los valores tanto del resistor cómo del condensador y reordenamos la expresión para obtener la segunda ecuación que necesitábamos:
· [Ec5] 0.1k1 + 0.025k2 = - 8
Ya tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:
· [Ec3] k1+ k2 = 40
· [Ec5] 0.1k1 + 0.025k2 = - 8
Resolvemos, ya sea mediante Gauss o cambiando la variable de una ecuación a otra, y obtenemos los siguiente valores para los parámetros requeridos:
· k1 = - 120
· k2 = 160
Ya hemos obtenido ambos parámetros, por lo que, una expresión para la tensión requerida es:
· v(t) = - 120·e-2t + 160·e-8t, t ≥ 0
Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de la tensión , dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, es:
Cuya representación gráfica es:
Apartado b)
Al estar los tres elementos en paralelo, la tensión será la misma para todos ellos, siendo su valor (obtenida en el apartado anterior):
Nos piden obtener la evolución de la corriente que atraviesa al inductor, por propia definición:
· iL(t) = (1/LD)vL(t) = (1/LD)v(t)
Debemos realizar la integral:
· iL(t) = (1/L)·ʃ[- 120·e-2t + 160·e-8t]dt = e-8t·(12·e-6t - 4)
· NOTA: No se ha descrito el procedimiento paso a paso de la resolución de la integral ya que es casi inmediata, si alguien la necesita, pedirla por comentarios.
Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de la corriente del inductor, dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, es:
Cuya representación gráfica es:
Aquí explicaremos cómo obtener la segunda ecuación necesaria para tener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Partimos de la base de que ya tenemos la primera ecuación, la cual es:
· [Ec3] k1+ k2 = 40
Vamos a obtener la segunda ecuación, mediante la expresión de corriente que atraviesa al inductor:
· iL(t) = (1/L1D)·vL(t)
Al estar los tres elementos en serie, una expresión para la tensión del inductor ya ha sido obtenida anteriormente:
· v(t) = k1·e-2t + k2·e-8t
La condición que hay que tener en cuenta del inductor es que no puede cambiar bruscamente su corriente en un momento determinado.
· iL1(0-) = iL1(0+) = 8 A
Muy bien, ya tenemos todo lo necesario para obtener nuestra segunda ecuación. Vamos a obtenerla mediante wxMaxima. Primero, introducimos el valor de la tensión del inductor:
>> v_L: k_1*%e^(-2*t) + k_2*%e^(-8*t);
Obtenemos la corriente del inductor:
>> i_L: (1/L)*integrate(v_L, t);
Y aplicamos la condición del inductor:
>> equ1: 8 = i_L;
Ahora, sustituimos valores y evaluamos dicha expresión en el instante t = 0:
>> equ2: subst([t = 0, L = 5], equ1);
Bien, ya tenemos la segunda ecuación, ahora, vamos a resolver el sistema lineal, para ello, vamos a introducir la primera ecuación:
>> equ3: k_1 + k_2 = 40;
Y ya solo nos queda resolver el sistema de ecuaciones lineal:
>> solve([equ3, equ2], [k_1, k_2]);
Cuyo resultado es:
>> [[k_1 = -120, k_2 = 160]]
Como podemos ver y comprobar, ambos métodos coinciden.
Os dejo una simulación realizada en LTSpice:
| Problema 3: Transitorios de 2º Orden | |||||||||
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