Aqueronte: Problema4: Circuitos 2º Orden

Ej4. El interruptor de la figura ha estado cerrado durante un largo período de tiempo, en el instante t = 0, se abre el interruptor:

Obtener la evolución de v(t).

Vamos a analizar el circuito, dado por el enunciado del problema, alrededor del instante t = 0.

· t < 0.

En este instante, el enunciado del problema nos dice que el circuito ha estado durante un largo período de tiempo, por lo que el condensador se comportará como un circuito abierto y el inductor como un corco circuito.

El circuito equivalente que tendremos en estas condiciones es el que se muestra a continuación:

De donde se puede obtener de manera inmediata la intensidad de la corriente i:

· i_p = V₁/R₁ = 10/2 = 5 A

Para obtener la tensión del condensador, realizamos una análisis LCK en torno al nodo A.

· - 10 + V₂ + V_Cp = 0

Despejamos:

· V_Cp = 10 - V₂ = 10 - 3· i_p = 10 - 3·5 = - 5 V

Por lo tanto, en este período, el condensador presentará una carga de - 5 V, para el inductor, su carga será nula:

· i_Lp = 0 A

Ahora, pasamos a estudiar el circuito en el instante t = 0.

· t = 0.

Cuando tenemos elementos cargados, como en este caso, podemos dibujar el circuito equivalente en función de dichos elementos:

· Condensador: Un condensador sin polaridad y de la misma capacidad pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de tensión lineal en serie de valor y polaridad a la carga inicial del condensador.

· Inductor: Un inductor del mismo valor, con una fuente de corriente lineal en paralelo de valor y polaridad a la carga inicial del inductor.

Por lo tanto, teniendo en cuenta dichas premisas, el circuito que tenemos es el siguiente:

· NOTA: Tanto el condensador C₂ cómo el inductor L₂ es de la misma capacidad e inductancia respectivamente, que el condensador inicial del circuito (C₁) y la inductancia inicial del circuito (L₁), pero no tiene la misma polaridad, aparte, el condensador no tiene ninguna carga inicial, es por ello, que al no ser el mismo (ya que hemos empleado las condiciones de equivalencia para cuando existen elementos cargados), se ha nombrado cómo: C₂ y L₂.

En estas condiciones, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (v_n) y por el otro: El régimen permanente (v_p). La solución general será del tipo:

· v(0⁺) = v_p + v_n

Así que vamos a obtener los dos por separado.

· Régimen Permanente:

Este caso, el circuito ha estado en la configuración presentada, durante un largo período de tiempo, tanto el condensador cómo el inductor se descargarán.

Por lo que, los datos que tendremos son:

· v_p = 0 V.

Y evidentemente, la carga de ambos elementos serán nulas ya que se descargarán:

· V_Cp = 0 V
· i = - i_Lp = - i_Cp = 0 A

· Régimen Transitorio:

El condensador, se irá descargando, realizamos el análisis mediante LVK:

· V₂ + V_R1+R2 - 5 + v_n + V_L2 = 0

Al estar los elementos en serie, la corriente del condensador es la misma que la del inductor:

· i_C = i_L
· i = - i_C

Por lo tanto:

· [Ec1] V₂ + i_C·(R₁ + R₂) - 5 + v_n + L₂D·i_C = 0

Se sabe que:

· V₂= 3·i = - 3·i_C
· i_C= C·Dv_n

Sustituimos en [Ec1]:

· L₂·C₂D²v_n - 3C₂Dv_n + C₂Dv_n·(R₁ + R₂) + v_n = 5

Simplificamos y dividimos por L₂·C₂:

· D²v_n + Dv_n·(R₁ + R₂ - 3)/L₂ + (1/(L₂·C₂)) v_n = 5/(L₂·C₂)

Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 2º Orden, la homogénea es:

· [Ec2] D²v_n + Dv_n·(R₁ + R₂ - 3)/L₂ + (1/(L₂·C₂)) v_n = 0

Sabemos que debe ser del tipo:

· s² + 2α·s + w²₀ = 0

Y en este caso, los parámetros α y w₀son:

· Factor de amortiguamiento ≡ α = (R₁ + R₂ - 3)/2L₂ = (2 + 9 - 3)/2·5 = 0.8 s^-1
· Frecuencia natural ≡ w₀ = √[ (1/L₂·C₂)] = √[ (1/5·2·10^-3)] = √100 = 10 rad/s

Y teniendo el valor de estos dos parámetros, podemos determinar cual es el comportamiento de nuestro circuito. En nuestro caso:

· α < w₀

Al ser la frecuencia natural mayor que el factor de amortiguamiento, el comportamiento de nuestro circuito es: Respuesta Subamortiguada, cuya solución a la respuesta homogénea es:

· v_n(t) = e^-α·t·[k₁·cos(w_d·t) + k₂·sin(w_d·t)]

Dónde:

· Frecuencia natural amortiguada ≡ w_d = (w²₀ - α²)^1/2= (10² - 0.8²)^1/2≈ 9.967949 rad/s

Por lo tanto, la solución completa es, la compuesta por la respuesta permanente más la respuesta transitoria:

· v(t) = v_p + v_n = 0 + e^-0.8·t·[k₁·cos(9.967949·t) + k₂·sin(9.967949·t)]

Simplificamos:

· v(t) = e^-0.8·t·[k₁·cos(9.967949·t) + k₂·sin(9.967949·t)]

Ya tenemos la estructura de cómo será la evolución de la tensión al abrirse el interruptor de nuestro circuito. Nos falta obtener los valores de los parámetros.

Para ello, vamos a aplicar las condiciones iniciales de los componentes que forman nuestro circuito.

· Condensador:

La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El condensador de nuestro circuito, presenta la siguiente carga de tensión inicial:

· v_C(0^-) = - 5 V

En el instante t = 0:

· v_C(0^-) = v_C(0⁺)

Por lo tanto:

· - 5 = e^-0.8·0·[k₁·cos(9.967949·0) + k₂·sin(9.967949·0)] = k₁

Despejamos:

· k₁= - 5

Ya tenemos el valor del primer parámetro, ahora vamos a por el del segundo parámetro, para ello, analizamos las condiciones iniciales del siguiente componente, en nuestro caso, las condiciones iniciales del inductor.

· Inductor:

La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El inductor de nuestro circuito, no presenta ninguna carga de intensidad inicial:

· i_L1(0^-) = 0 A.

Como suele ser habitual, existen varias maneras de abordar esta parte, en este caso, la más fácil es emplear la propia definición que describe la corriente a través del inductor, teniendo en cuenta que, al estar los elementos en serie, la corriente que atraviesa al inductor es la misma que atraviesa al condensador, por lo tanto:

· [Ec3] i_L = i_C = C·Dv(t)

Sabemos que la estructura de la tensión es (obtenida anteriormente):

· v(t) = e^-0.8·t·[- 5·cos(9.967949·t) + k₂·sin(9.967949·t)]

Obtenemos la primera derivada de la tensión del condensador:

· Dv(t) = - 0.8e^-0.8·t·[- 5·cos(9.967949·t) + k₂·sin(9.967949·t)] + e^-0.8·t·[49.839745·sin(9.967949·t) +9.967949·k₂·cos(9.967949·t)]

En el instante t = 0:

· Dv(0) = - 0.8·(- 5) + 9.967949·k₂ = 4 + 9.967949·k₂
· i_L2(0^-) = i_L2(0⁺) = 0

Sustituimos en [Ec3]:

· 0 = C₂·[4 + 9.967949·k₂]

Sustituimos el valor del condensador y despejamos el parámetro que nos interesa obtener:

· k₂ = - 4/9.967949 ≈ - 0.401286

Ya hemos obtenido ambos parámetros, por lo que, una expresión para la tensión del condensador es:

· v(t) = - e^-0.8·t·[5·cos(9.967949·t) + 0.401286·sin(9.967949·t)], t ≥ 0

Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de la tensión , dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, es: