Obtener la evolución de v(t).
Vamos a analizar el circuito, dado por el enunciado del problema, alrededor del instante t = 0.
· t < 0.
En este instante, el enunciado del problema nos dice que el interruptor ha estado abierto durante un largo período de tiempo, por lo que el condensador se comportará como un circuito abierto y el inductor como un corco circuito.
El circuito equivalente que tendremos en estas condiciones es el que se muestra a continuación:
De donde se puede obtener, de manera inmediata, la tensión del condensador mediante un divisor de tensión:
· VCp = [R2/(R2+ R1)]·V1 =[50/(50 + 30)]·40 = 25 V
Vamos a ver, si el inductor presentará una carga de intensidad:
· ip = - V2/R2 = - 25/50 = - 0.5 A
Por lo tanto, en este período, tanto el condensador cómo el inductor, se cargarán con 25 V y - 0.5 A respectivamente.
Ahora, pasamos a estudiar el circuito en el instante t = 0, cuando el interruptor se cierra.
· t = 0.
Cuando tenemos elementos cargados, como en este caso, podemos dibujar el circuito equivalente en función de dichos elementos:
· Condensador: Un condensador sin polaridad y de la misma capacidad pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de tensión lineal en serie de valor y polaridad a la carga inicial del condensador.
· Inductor: Un inductor del mismo valor y totalmente descargado, con una fuente de corriente lineal en paralelo de valor y polaridad a la carga inicial del inductor.
Por lo tanto, teniendo en cuenta dichas premisas, el circuito que tenemos es el siguiente:
· NOTA: Tanto el condensador C2 cómo el inductor L2 es de la misma capacidad e inductancia respectivamente, que el condensador inicial del circuito (C1) y la inductancia inicial del circuito (L1), pero no tiene la misma polaridad ni ninguna carga inicial, es por ello, que al no ser el mismo (ya que hemos empleado las condiciones de equivalencia para cuando existen elementos cargados), se ha nombrado cómo: C2 y L2.
En estas condiciones, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (vn) y por el otro: El régimen permanente (vp). La solución general será del tipo:
· v(0+) = vp + vn
Así que vamos a obtener los dos por separado.
· Régimen Permanente:
Este caso, el circuito ha estado en la configuración presentada, durante un largo período de tiempo, tanto el condensador cómo el inductor se descargarán.
El circuito equivalente es el que se muestra a continuación:
Por lo que, los datos que tendremos son:
· VCp = 0 V
· ip = 0 A
· Régimen Transitorio:
Tanto el condensador como el inductor, se irán descargando, el circuito equivalente es el siguiente:
Realizamos el análisis mediante LCK en el nodo A:
· [Ec1] in + iR2 + iC1 = 0
Donde:
· in = {LCK nodo B} = iL2 - 0.5 = (1/L2D)·vn - 0.5
· iR2 = vn/R2
· iC2 = C2D(vn - 25)
· NOTA: Al estar todos los elementos en paralelo, sus tensiones son iguales: vn.
Sustituimos en [Ec1]:
· (1/L2D)·vn + vn/R2 + C2D(vn - 25) = 0.5
Multiplicamos por el operador diferencial D y dividimos por C2:
· D2 vn + (1/R2·C2)Dvn + (1/L2·C2) vn = 0
Ya tenemos nuestra ecuación homogénea diferencial de 2º Orden, sabemos que debe ser del tipo:
· s2 + 2α·s + w20 = 0
Y en este caso, los parámetros α y w0 son:
· Factor de amortiguamiento ≡ α = 1/(2R2·C2) = 1/(2·50·20·10-6) = 500 s-1
· Frecuencia natural ≡ w0 = √[ (1/L2·C2)] = √[ (1/0.4·20·10-6)] = √125000 ≈ 353.553391 rad/s
Y teniendo el valor de estos dos parámetros, podemos determinar cual es el comportamiento de nuestro circuito. En nuestro caso:
· α > w0
Al ser la frecuencia natural menor que el factor de amortiguamiento, el comportamiento de nuestro circuito es: Respuesta Sobreamortiguada, cuya solución a la respuesta homogénea es:
· vn(t) = k1·es1·t + k2·es2·t
Dónde:
· s1 = - α + (α2- w20)1/2 = - 500 + (5002- 353.5533912)1/2 ≈ - 146.44661
· s2 = - α - (α2- w20)1/2 = - 500 - (5002- 353.5533912)1/2 ≈ - 853.55339
Por lo tanto, la solución completa es, la compuesta por la respuesta permanente más la respuesta transitoria:
· v(t) = vp + vn = 0 + k1·e-146.44661t + k2·e-853.55339t = k1·e-146.44661t + k2·e-853.55339t
Ya tenemos la estructura de cómo será la evolución de la tensión requerida para este instante de tiempo. Nos falta, obtener los valores de los parámetros.
Para ello, vamos a aplicar las condiciones iniciales de los componentes que forman nuestro circuito.
· Condensador:
La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El condensador de nuestro circuito, presenta la siguiente carga de tensión inicial:
· vC(0-) = 25 V
En el instante t = 0 (Aparte, si nos fijamos en la figura del circuito para este instante, podemos comprobar que la tensión del condensador es igual a 25 V):
· vC(0-) = vC(0+)
Por lo tanto:
· 25 = k1·e-146.44661·0 + k2·e-853.55339·0 = k1+ k2
Simplificamos:
· [Ec2] k1+ k2 = 25
Tenemos una ecuación con dos incógnitas, vamos a obtener la segunda ecuación para tener un sistema consistente y poder obtener los parámetros mencionados, para ello, aplicamos las condiciones iniciales del otro elemento del circuito.
· Inductor:
La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El inductor de nuestro circuito, presenta una carga inicial:
· iL1(0-) = - 0.5 A.
Como suele ser habitual, existen varias maneras de abordar esta parte, en este caso, al tener dibujado el circuito equivalente para el instante t = 0, vamos a utilizarlo para obtener la otra ecuación.
Volvemos a realizar el análisis entorno al nodo A mediante LCK:
· [Ec1] in + iR2 + iC1 = 0
Donde:
· in = {LCK nodo B} = iL2 - 0.5 = iL2 - 0.5
· iR2 = v(t)/R2
· iC2 = C2D(v(t) - 25)
Sustituimos en [Ec1]:
· [Ec3] iL2 + v(t)/R2 + C2D(v(t) - 25) = 0.5
Sabemos que la estructura de la tensión es (obtenida anteriormente):
· v(t) = k1·e-146.44661t + k2·e-853.55339t
Obtenemos la primera derivada de la tensión del condensador:
· Dv(t) = - 146.44661·k1·e-146.44661t - 853.55339·k2·e-853.55339t
En el instante t = 0:
· v(0) = k1·e-146.44661·0 + k2·e-853.55339·0 = k1 + k2
· Dv(0) = - 146.44661·k1·e-146.44661·0 - 853.55339·k2·e-853.55339·0 = - 146.44661·k1 - 853.55339·k2
· iL2(0-) = iL2(0+) = 0
· NOTA: El inductor L2 está totalmente descargado.
Sustituimos en [Ec3]:
· 0 + (k1 + k2)/R2 + C2(- 146.44661·k1 - 853.55339·k2) = 0.5
Sustituimos los valores tanto del resistor cómo del condensador y reordenamos la expresión para obtener la segunda ecuación que necesitábamos:
· [Ec4] 0.017071k1 + 0.002929k2 = 0.5
Ya tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:
· [Ec2] k1+ k2 = 25
· [Ec4] 0.017071k1 + 0.002929k2 = 0.5
Resolvemos, ya sea mediante Gauss o cambiando la variable de una ecuación a otra, y obtenemos los siguiente valores para los parámetros requeridos:
· k1 ≈ 30.177839
· k2 ≈ - 5.177839
Ya hemos obtenido ambos parámetros, por lo que, una expresión para la tensión requerida es:
· v(t) = 30.177839·e-146.44661·t - 5.177839·e-853.55339·t, t ≥ 0
Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de la tensión , dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, es:
Cuya representación gráfica es:
Os dejo una simulación realizada en LTSpice:
| Problema 5: Transitorios de 2º Orden | |||||||||
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