Obtener la evolución de la corriente i(t).
Vamos a analizar el circuito, dado por el enunciado del problema, alrededor del instante t = 0, que es cuando el interruptor cambia de estado.
· t < 0.
En este instante, el enunciado del problema nos dice que el circuito ha estado durante un largo período de tiempo, por lo que el condensador se comportará como un circuito abierto y el inductor como un corco circuito.
El circuito equivalente que tendremos en estas condiciones es el que se muestra a continuación:
De donde se puede obtener de manera inmediata, la corriente y si los elementos presentarán una carga a posterior:
· ip = iL1p = V1/R1 = 12/4 = 3 A
· vC1p = 0 V
Ahora, pasamos a estudiar el circuito en el instante t = 0.
· t = 0.
Cuando tenemos elementos cargados, como en este caso, podemos dibujar el circuito equivalente en función de dichos elementos:
· Condensador: Un condensador sin polaridad y de la misma capacidad pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de tensión lineal en serie de valor y polaridad a la carga inicial del condensador.
· Inductor: Un inductor del mismo valor pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de corriente lineal en paralelo de valor y polaridad a la carga inicial del inductor.
Por lo tanto, teniendo en cuenta dichas premisas, el circuito que tenemos es el siguiente:
· NOTA: Tanto el condensador C2 cómo el inductor L2 es de la misma capacidad e inductancia respectivamente, que el condensador inicial del circuito (C1) y la inductancia inicial del circuito (L1), pero no tiene la misma polaridad y ninguna carga inicial, es por ello, que al no ser el mismo (ya que hemos empleado las condiciones de equivalencia para cuando existen elementos cargados), se ha nombrado cómo: C2 y L2.
En estas condiciones, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (in) y por el otro: El régimen permanente (ip). La solución general será del tipo:
· i(0+) = ip + in
Así que vamos a obtener los dos por separado.
· Régimen Permanente:
Este caso, el circuito ha estado en la configuración presentada, durante un largo período de tiempo. Por lo que, los datos que tendremos son:
· VC2p = V1 = 12 V
· ip = iL2p = 0 A
· Régimen Transitorio:
El condensador, se irá cargando, realizamos el análisis mediante LVK:
· - V1 + VR1 + VC2 + VL2 = 0
Donde:
· in = iC2
· VC2 = (1/C2D)·in
· VR1 = in·R1
· VL2 = {LCK Nodo A: iL2 = in - 3} = L2D(in - 3)
Por lo tanto:
· in·R1 + (1/C2D)·in + L2D(in - 3) = V1
Multiplicamos por el operador diferencial D y dividimos por L2:
· D2 in + Din·R1/L2 + (1/(L2·C2))·in = 0
Ya tenemos nuestra ecuación diferencial homogénea de 2º Orden, que sabemos que debe ser del tipo:
· s2 + 2α·s + w20 = 0
Y en este caso, los parámetros α y w0 son:
· Factor de amortiguamiento ≡ α = R1/2L2 = 4/(2·8·10-3) = 250 s-1
· Frecuencia natural ≡ w0 = √[ (1/L2·C2)] = √[ (1/8·10-3·1·10-6)] ≈ 11180.33989 rad/s
Y teniendo el valor de estos dos parámetros, podemos determinar cual es el comportamiento de nuestro circuito. En nuestro caso:
· α < w0
Al ser la frecuencia natural mayor que el factor de amortiguamiento, el comportamiento de nuestro circuito es: Respuesta Subamortiguada, cuya solución a la respuesta homogénea es:
· in(t) = e-α·t·[k1·cos(wd·t) + k2·sin(wd·t)]
Dónde:
· Frecuencia natural amortiguada ≡ wd = (w20 - α2)1/2 = (11180.339892 - 2502)1/2 ≈ 11177.54445 rad/s
Por lo tanto, la solución completa es, la compuesta por la respuesta permanente más la respuesta transitoria:
· i(t) = ip + in = 0 + e-250·t·[k1·cos(11177.54445·t) + k2·sin(11177.54445·t)]
Simplificamos:
· i(t) = e-250·t·[k1·cos(11177.54445·t) + k2·sin(11177.54445·t)]
Ya tenemos la estructura de cómo será la evolución de la corriente al abrirse el interruptor de nuestro circuito. Nos falta obtener los valores de los parámetros.
Para ello, vamos a aplicar las condiciones iniciales de los componentes que forman nuestro circuito.
· Inductor:
La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El inductor de nuestro circuito, presenta la siguiente carga de intensidad inicial:
· iL1(0-) = 3 A
En el instante t = 0:
· iL1(0-) = iL1(0+)
En nuestro caso, al haber obtenido el circuito equivalente, estas consideraciones están implícitamente expresadas, por lo que volvemos a realizar un análisis de LCK en el nodo A:
· [Ec1] i(t) = iL2 + 3
Donde:
· i(t) = e-250·t·[k1·cos(11177.54445·t) + k2·sin(11177.54445·t)]
· iL2(t-) = iL2(t+) = 0 A
· NOTA: El inductor L2 está totalmente descargado.
Sustituimos en [Ec1]:
· e-250·t·[k1·cos(11177.54445·t) + k2·sin(11177.54445·t)] = 0 + 3
En t = 0:
· e-250·0·[k1·cos(11177.54445·0) + k2·sin(11177.54445·0)] = 3
Operamos:
· k1 = 3
Ya tenemos el valor del primer parámetro, ahora vamos a por el del segundo parámetro, para ello, analizamos las condiciones iniciales del siguiente componente.
· Condensador:
La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El condensador de nuestro circuito, no presenta ninguna carga de tensión inicial:
· vC1(0-) = 0 V.
Como suele ser habitual, existen varias maneras de abordar esta parte, en este caso, al tener dibujado el circuito equivalente para el instante t = 0, vamos a utilizarlo para obtener la otra ecuación.
· - V1 + VR1 + VC2 + VL2 = 0
Donde:
· vC2(t-) = vC2(t+) = 0 V
· VR1 = i(t)·R1
· VL2 = {LCK Nodo A: iL2 = i(t) - 3} = L2D(i(t) - 3)
· i(t) = e-250·t·[k1·cos(11177.54445·t) + k2·sin(11177.54445·t)]
· NOTA: El inductor C2 está totalmente descargado.
Por lo tanto:
· i(t)·R1 + 0 + L2D(i(t) - 3) = V1
Simplificamos:
· [Ec2] i(t)·R1 + L2Di(t) = V1
Obtenemos la primera derivada de la corriente del circuito:
· Di(t) = - 250e-250·t·[3·cos(11177.54445·t) + k2·sin(11177.54445·t)] + e-250·t·[-33532.63335·sin(11177.54445·t) +11177.54445·k2·cos(11177.54445·t)]
En el instante t = 0:
· i(0) = e-250·0·[3·cos(11177.54445·0) + k2·sin(11177.54445·0)] = 3
· Dv(0) = - 250·(3) + 11177.54445·k2 = - 750 + 11177.54445·k2
Sustituimos en [Ec2]:
· 3·R1 + L2(- 750 + 11177.54445·k2) = V1
Sustituimos el valor del inductor, resistor y fuente de tensión, y despejamos el parámetro que nos interesa obtener:
· k2 ≈ 0.067099
Ya hemos obtenido ambos parámetros, por lo que, una expresión para la corriente requerida es:
· i(t) = e-250·t·[3·cos(11177.54445·t) + 0.067099·sin(11177.54445·t)], t ≥ 0
Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de la corriente, dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, es:
Cuya representación gráfica es:
Os dejo una simulación realizada en LTSpice:
| Problema 6: Transitorios de 2º Orden | |||||||||
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