Aqueronte: Problema7: Circuitos de 2º Orden

Ej7. Realizar un estudio del circuito de la figura respecto al instante t = 0:

Obtener la evolución de la corriente i(t).

La fuente de tensión del circuito se comporta cómo una función escalón, cuya definición es:

Una vez tenemos clara las condiciones del problema, vamos a abordarlo teniendo en cuenta el instante t = 0.

· t < 0.

En este instante, la fuente de tensión es nula, por lo que todos los datos que podamos obtener serán nulos, ya que en el enunciado del problema, no nos han indicado nada de que los elementos estén cargados con anterioridad (por lo que los consideramos totalmente descargados).

En modo resumen:

· i_p = i_L1p = 0 A
· V₁ = v_C1p = 0 V

Ahora, pasamos a estudiar el circuito en el instante t = 0.

· t = 0.

El circuito equivalente que tenemos es el siguiente:

Las condiciones de equivalencia:

· Condensador: Un condensador sin polaridad y de la misma capacidad pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de tensión lineal en serie de valor y polaridad a la carga inicial del condensador.

· Inductor: Un inductor del mismo valor pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de corriente lineal en paralelo de valor y polaridad a la carga inicial del inductor.

· NOTA: Tanto el condensador C₂ cómo el inductor L₂ es de la misma capacidad e inductancia respectivamente, que el condensador inicial del circuito (C₁) y la inductancia inicial del circuito (L₁), pero no tiene la misma polaridad y ninguna carga inicial, es por ello, que al no ser el mismo (ya que hemos empleado las condiciones de equivalencia para cuando existen elementos cargados), se ha nombrado cómo: C₂ y L₂.

En estas condiciones, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (i_n) y por el otro: El régimen permanente (i_p). La solución general será del tipo:

· i(0⁺) = i_p + i_n

Así que vamos a obtener los dos por separado.

· Régimen Permanente:

Este caso, el circuito ha estado en la configuración presentada, durante un largo período de tiempo. El inductor se comportará como un corto circuito y el condensador como un circuito abierto.

El circuito equivalente es:

Por lo que, los datos que tendremos son:

· V_C2p = 0 V
· i_p = i_L2p = V₁/R₁ = 12/2·10³ = 6 mA

· Régimen Transitorio:

Tanto el condensador como el inductor, se irán cargando, realizamos el análisis mediante LVK:

· [Ec1] - V₁ + V_R1 + V_L2 = 0

Donde:

· V_L2 = L₂Di_n
· V_R1 = i₁·R₁

Si tenemos realizamos un análisis en el nodo A:

· Nodo A: i₁ = i_n+ i_C2

Sustituimos:

· V_C2 = V_L2
· i_C2 = C₂DV_C2 = C₂DV_L2= C₂·L₂D²i_n

Ya podemos sustituir los valores obtenidos en la [Ec1]:

· L₂Di_n + [i_n + C₂·L₂D²i_n]·R₁ = V₁

Reordenamos y dividimos por C₂·L₂:

· D²i_n + Di_n·(1/R₁·C₂) + (1/(L₂·C₂))·i_n = V₁/R₁·L₂·C₂

Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 2º Orden, cuya homogénea es:

· D²i_n + Di_n·(1/R₁·C₂) + (1/(L₂·C₂))·i_n = 0

Que sabemos que debe ser del tipo:

· s² + 2α·s + w²₀ = 0

Y en este caso, los parámetros α y w₀son:

· Factor de amortiguamiento ≡ α = 1/2R₁·C₂ = 1/(2·2·10³·5·10^-6) = 50 s^-1
· Frecuencia natural ≡ w₀ = √[ (1/L₂·C₂)] = √[ (1/8·10^-3·5·10^-6)] = 5000 rad/s

Y teniendo el valor de estos dos parámetros, podemos determinar cual es el comportamiento de nuestro circuito. En nuestro caso:

· α < w₀

Al ser la frecuencia natural mayor que el factor de amortiguamiento, el comportamiento de nuestro circuito es: Respuesta Subamortiguada, cuya solución a la respuesta homogénea es:

· i_n(t) = e^-α·t·[k₁·cos(w_d·t) + k₂·sin(w_d·t)]

Dónde:

· Frecuencia natural amortiguada ≡ w_d = (w²₀ - α²)^1/2= (5000² - 50²)^1/2≈ 4999.749994 rad/s

Por lo tanto, la solución completa es, la compuesta por la respuesta permanente más la respuesta transitoria:

· i(t) = i_p + i_n = 0.006 + e^-50·t·[k₁·cos(4999.749994·t) + k₂·sin(4999.749994·t)]

Ya tenemos la estructura de cómo será la evolución de la corriente al abrirse el interruptor de nuestro circuito. Nos falta obtener los valores de los parámetros.

Para ello, vamos a aplicar las condiciones iniciales de los componentes que forman nuestro circuito.

· Inductor:

La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El inductor de nuestro circuito, no presenta ninguna carga de intensidad inicial:

· i_L2(0^-) = 0 A

Tenemos todos los datos para poder trabajar:

· i(t) = 0.006 + e^-50·t·[k₁·cos(4999.749994·t) + k₂·sin(4999.749994·t)]
· i_L2(0^-) = i_L2(0⁺) = 0 A

· NOTA: El inductor L₂ está totalmente descargado.

Por lo tanto:

· 0.006 + e^-50·t·[k₁·cos(4999.749994·t) + k₂·sin(4999.749994·t)] = 0

En t = 0:

· 0.006 + e^-50·0·[k₁·cos(4999.749994·0) + k₂·sin(4999.749994·0)] = 0

Operamos:

· k₁= - 0.006

Ya tenemos el valor del primer parámetro, ahora vamos a por el del segundo parámetro, para ello, analizamos las condiciones iniciales del siguiente componente.

· Condensador:

La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto. El condensador de nuestro circuito, no presenta ninguna carga de tensión inicial:

· v_C2(0^-) = 0 V.

Como suele ser habitual, existen varias maneras de abordar esta parte, para este caso, la más fácil es mediante la propia definición de la tensión del condensador:

· [Ec2] V_C2 = V_L2 = L₂Di(t)

Donde:

· i(t) = 0.006 + e^-50·t·[- 0.006·cos(4999.749994·t) + k₂·sin(4999.749994·t)]

Obtenemos la primera derivada de la corriente del circuito:

· Di(t) = - 50e^-50·t·[- 0.006·cos(4999.749994·t) + k₂·sin(4999.749994·t)] + e^-50·t·[29.9985·sin(4999.749994·t) + 4999.749994·k₂·cos(4999.749994·t)]

En el instante t = 0:

· Dv(0) = - 50·(- 0.006) + 4999.749994·k₂ = 0.3 + 4999.749994·k₂

Tenemos en cuenta las condiciones del condensador:

· v_C2(t^-) = v_C2(t⁺) = 0 V

· NOTA: El inductor C₂ está totalmente descargado.

Sustituimos en [Ec2]:

· 0 = L₂·[0.3 + 4999.749994·k₂]

Sustituimos el valor del inductor y despejamos el parámetro que nos interesa obtener:

· k₂ = - 0.3/4999.749994 ≈ - 0.00006

Ya hemos obtenido ambos parámetros, por lo que, una expresión para la corriente del inductor (y la que nos piden obtener en el problema) es:

· i(t) = 0.006 + e^-50·t·[- 0.006·cos(4999.749994·t) - 0.00006·sin(4999.749994·t)], t ≥ 0

Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de la corriente, dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, es: