Problema98: Probabilidad

Ej98. Consideremos a 18 tiradores clasificados en 4 grupos. En el primer grupo hay 5 tiradores con probabilidades 0.8 de dar en el blanco, en el segundo hay 7 con probabilidad 0.7, en el tercero hay 4 con probabilidad de 0.6 y en el ultimo 2 con probabilidad 0.5 de dar en el blanco.

Se selecciona aleatoriamente un tirador, dispara y no da en el blanco. ¿A qué grupo es más probable que pertenezca?.



Recopilamos información del enunciado del problema. Definimos los elementos:

· G_x ≡ 'Tirador del Grupo x'
· E ≡ 'Dar en el blanco'

Existen cuatro grupos de tiradores:

· G₁ ≡ 'Tirador del Grupo 1'. En este grupo hay 5 tiradores.
· G₂ ≡ 'Tirador del Grupo 2'. En este grupo hay 7 tiradores.
· G₃ ≡ 'Tirador del Grupo 3'. En este grupo hay 4 tiradores.
· G₄ ≡ 'Tirador del Grupo 4'. En este grupo hay 2 tiradores.

Por lo tanto, existen, en total, 5 + 7 + 4 + 2 = 18 tiradores.

La probabilidad de escoger a un tirador de su grupo correspondiente es la siguiente:

· P(G₁) = 5/18
· P(G₂) = 7/18
· P(G₃) = 4/18 = 2/9
· P(G₄) = 2/18 = 1/9

El enunciado nos ofrece información de la probabilidad de dar en el blanco dependiendo del grupo de tiradores escogido:

· P(E|G₁) = 0.8
· P(E|G₂) = 0.7
· P(E|G₃) = 0.6
· P(E|G₄) = 0.5

Y lo que nos pide el enunciado del problema es,dado que se ha escogido un tirador al azar y éste no haya dado en el blanco, ¿a qué grupo es más probable que pertenezca?. Dicho estudio debemos realizarlo para cada grupo de la siguiente manera:

 

En dicha expresión, hay dos elementos que vamos a manipularlos y obtenerlos antes de abordar el problema, éstos son los siguientes:

· P(Ē) y P(Ē|G_x)

Empezamos por el primero que consiste en la probabilidad de no dar en el blanco, éste término es fácil de obtener mediante la Probabilidad Total, pero previamente, vamos a obtener su complementario, la probabilidad de dar en el blanco:

· P(E) = P(E|G₁)·P(G₁) + P(E|G₂)·P(G₂) + P(E|G₃)·P(G₃) + P(E|G₄)·P(G₄)

Sustituimos valores:

 · P(E) = 0.8·(5/18) + 0.7·(7/18) + 0.6·(2/9) + 0.5·(1/9) = 41/60

Por lo tanto, la probabilidad de no dar al blanco es su complementario:

 · P(Ē) = 1 - P(E) = 1 - 41/60 = 19/60

Una vez obtenido el primer elemento que es necesario para dar respuesta a este problema, vamos a por el segundo. En este caso, vamos a manipular la expresión:

Por lo tato, la expresión queda de la siguiente manera:

· P(Ē|G_x) = 1 - P(E|G_x)

En estos momentos, estamos en disposición de abordar lo que nos piden en el enunciado del problema, para ello, analizamos cada grupo.

· Grupo 1.

Por lo tanto, la probabilidad de que dado que no se ha dado en el blanco, el tirador escogido al azar sea del grupo 1, es de, aproximadamente 0.175439.

· Grupo 2.

Por lo tanto, la probabilidad de que dado que no se ha dado en el blanco, el tirador escogido al azar sea del grupo 2, es de, aproximadamente 0.368421.

· Grupo 3.

Por lo tanto, la probabilidad de que dado que no se ha dado en el blanco, el tirador escogido al azar sea del grupo 3, es de, aproximadamente 0.280702.

· Grupo 4.

Por lo tanto, la probabilidad de que dado que no se ha dado en el blanco, el tirador escogido al azar sea del grupo 4, es de, aproximadamente 0.175439.


Por lo tanto, el grupo más probable al que pertenezca el tirador, dadas las condiciones expuestas en el enunciado del problema, es el Grupo 2.