Problema16. VAD.

Ej16. En el experimento aleatorio de lanzar un dado:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya que lanzar cinco veces el dado para que salga 6?

b) Sabiendo que se ha lanzado el dado cinco veces sin obtener 6, ¿cuál es la probabilidad de que sean necesarios al menos tres lanzamientos más hasta obtener un 6?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sean exactamente tres lanzamientos para obtener un 6?

Para hallar este problema, se usará la distribución geométrica:

Donde:

• p: Probabilidad de obtener un seis al lanzar un dado, es de 1/6.
• x: Denota los intentos hasta lograr obtener un 6, depende de los apartados.

Se usa la distribución geométrica porque es una serie de ensayos independientes buscando un éxito, en este caso, lanzar un dado hasta obtener un 6.

Se define la variable aleatoria:

X Ξ “Número de veces se lanza el dado hasta obtener un seis”.

Apartado a)

Se usa la expresión de la distribución geométrica, con x = 5, para obtener la probabilidad de que al quinto lanzamiento se obtenga un 6, obteniéndose:

Apartado b)

Hay que tener en cuenta, que la expresión de la distribución geométrica no tiene memoria, por lo tanto da igual los acontecimientos pasados.

Por lo tanto:

P(X ≥ 3) = 1 - P(X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2)

Se usa la expresión de la distribución geométrica, con x = 1, para obtener la probabilidad de que al primer lanzamiento se obtenga un 6, obteniéndose:

Se usa la expresión de la distribución geométrica, con x = 2, para obtener la probabilidad de que al segundo lanzamiento se obtenga un 6, obteniéndose:

Por lo tanto:

P(X ≥ 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [1/6+ 5/36] = 25/36

Otra forma alternativa de realizar este problema, es desarrollando el sumatorio:

Obteniéndose:

Quedando demostrado lo que se deseaba demostrar.

Apartado c)

Se usa la expresión de la distribución geométrica, con x = 3, para obtener la probabilidad de que al tercer lanzamiento se obtenga un 6, obteniéndose: