Problema8: Laplace EDO

Ej8. Resuelva la siguiente ecuación diferencial.

Resolveremos el problema empleando la herramienta de transformada y antitransformada de Laplace.

L{y''} + 2L{y'} + L{y} = L{e^-3t}

Mirando en las tablas y propiedades que dispone Aqueronte, podemos escribir su transformada:

Agrupo:

Empleo el dato de valor inicial:

· y(0) = 1
· y'(0) = 0

Por lo tanto:

Despejo para obtener la Transformada de Laplace:

En estos momentos, tenemos recorrer el camino contrario, ya que hemos obtenido la transformada de la función con las condiciones dadas, debemos hallar la antitransformada para resolver el problema.

Descomponemos el denominador en fracciones:

Operamos:

s²+5s+7 = A(s+1)²+B(s+3)(s+1)+C(s+3) = As² + 2As + A + Bs² + 4Bs + 3B + Cs + 3C

Agrupamos por términos:

· s²: A+B = 1
· s¹: 2A+4B+C = 5
· s⁰: A+3B+3C = 7

Resolvemos el sistema formado por cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, dando como resultado:

· A = 1/4
· B = 3/4
· C = 3/2

Por lo tanto, la ecuación nos queda de la siguiente manera:

La antitransformada que debemos obtener es la siguiente:

En estos momentos, estamos en disposición de identificar cada miembro de la función acorde a las dadas en las tablas.

• Primer Miembro: Transformada de Laplace de la función: f(t) = e^at

L{e^at} = 1/(s-a)

Siendo:

· a = -3.

• Segundo Miembro: Transformada de Laplace de la función: f(t) = e^at

L{e^at} = 1/(s-a)

Siendo:

· a = -1.

• Tercer Miembro: Transformada de Laplace de la función: f(t) = t^n-1·e^at

L{t^n-1·e^at} = (n-1)!/(s-a)ⁿ

Siendo:

· a = -1.
· n = 2.

En estos momentos, la antitransformada de los miembros, son inmediatas, y por lo tanto, la solución a este problema es:

y(t) = (1/4)·e^-3t + (3/4)·e^-t + (3/2)·t·e^-t

Como se puede observar, el resolver ecuaciones diferenciales mediante la herramienta de Laplace se hace más amena que por la vía convencional.