martes, 29 de mayo de 2012

Problema10: Circuitos de 1º Orden

Ej10. El interruptor de la figura permanece cerrado durante un largo período de tiempo. En el instante t = 0, se abre el interruptor.



Obtener l
a evolución de iL(t) e i1(t).




Antes de entrar en materia, vamos a prestar atención a las condiciones que nos expone el enunciado del problema.

· El interruptor ha estado cerrado durante un largo período de tiempo: Esto significa que el circuito está en régimen permanente y por ende, los inductores se han cargado completamente y su comportamiento es de corto circuito.

Una vez analizadas las condiciones iniciales del problema, vamos a abordarlo teniendo en cuenta la posición del interruptor.


· t < 0: S1 Cerrado.

El enunciado nos advierte que en esta posición ha estado durante un largo período de tiempo, por lo que el circuito que vamos a tener estará, sólo, en régimen permanente.

El circuito que tenemos es el siguiente:


Obtener las intensidades es fácil, ya que todos los elementos están en paralelo con la fuente de tensión, por lo tanto, aplicando la Ley de Ohm:

· i1p = 18/90 = 0.2 A.
· iLp = 18/50 = 0.36 A.


· t = 0: S1 Abierto.

El circuito que tenemos es el siguiente:


Para simplificar los cálculos y mayor claridad, vamos a simplificar el circuito asociando ciertos elementos (los que están marcados en la figura anterior), obteniendo su equivalente:


Donde:

· Requ = (60 + 120) || 90 = [(60 + 120)·90]/(60 + 120 + 90) = 60 Ω
· Lequ = (2·10-3 || 3·10-3) + 1·10-3 = 2.2 mH

En estas condiciones, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (in) y por el otro: El régimen permanente (ip). La solución general será del tipo:

· i(0+) = ip + in

Así que vamos a obtener los dos por separado.


· Régimen Permanente:

Este caso, tanto el interruptor S1 ha estado abierto durante un largo período de tiempo, por lo que, el inductor equivalente se cargará completamente y se comportará como un corto circuito.

No nos hace falta poner el circuito equivalente ya que, la corriente será nula por la descarga del inductor equivalente:

· i1p = 0 A.
· iLp = 0 A.


· Régimen Transitorio:

El inductor equivalente se está cargando, realizamos el análisis mediante LVK:

· [Ec1] iLn·(50 + 60) + 2.2·10-3·DiLn = 0

Dividimos por 2.2·10-3:

· [Ec2] DiLn + 50000·iLn = 0

Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden que a su vez, es la ecuación homogénea. Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· iLn(t) = k·e-A·t

Realizamos la primera derivada y sustituimos en [Ec2]:

- k·A·e-A·t + 50000·k·e-A·t = 0

Analizamos en circuito en el instante t = 0 (el interruptor S1 se abre), por lo tanto:

- k·A + 50000·k = 0

Despejamos el parámetro A:

· A = 50000 s-1

Por lo tanto, la constante de tiempo en el instante t = 0 es:

· τ = 1/A = 1/50000 = 20 μs

Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del inductor.

· Inductor: La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.

El inductor equivalente está previamente cargado:

· i(0-) = 0.36 A

En el instante t = 0:

· i(0-) = i(0+)

Por lo tanto:

· 0.36 = iLp + iLn = 0 + k·e-50000·t

Para el instante t = 0, tenemos:

· 0 + k = 0.36

Despejamos k:

· k = 0.36

Así que, una expresión para la corriente del circuito es:

· iL(t) = 0.36·e-50000·t, t > 0

Una vez tenemos ya totalmente identificada la evolución de la corriente que atraviesa al inductor y por ende, una de las que nos pide el enunciado del problema, vamos a obtener la tensión que nos falta: i1(t).

Para obtenerla, vamos a hallar la tensión del resistor equivalente de Requ = 60 Ω, una vez obtenida, será fácil hallar la intensidad que nos piden mediante la Ley de Ohm.

Vamos por partes, primero, obtenemos la tensión mencionada:

· V60Ω = Requ·iL(t) = 60·0.36·e-50000·t = 21.6·e-50000·t, t > 0

Teniendo en cuenta el convenio de signos:

· V60Ω = - V90Ω = - 21.6·e-50000·t, t > 0

Ahora, obtenemos la intensidad que nos piden mediante la Ley de Ohm:

· i1(t) = - V90Ω/R90Ω= - (21.6/90)·e-50000·t = - 0.24·e-50000·t, t > 0


Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de las corrientes, dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, son:

· Para iL(t):



Cuya representación gráfica es:



· Para i
1(t):


Cuya representación gráfica es:




Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 10: Transitorios de 1º Orden
Problema 10
Problema 10
Problema 10

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