Problema6: Circuitos de 1º Orden Amplificadores Operacionales

Ej6. En interruptor del circuito de la figura ha estado abierto durante un largo periodo de tiempo, en el instante t = 0 se cierra, considerando que el amplificador operacional es ideal.

Obtener la tensión de salida v_o( t ).



El enunciado nos indica que el interruptor ha estado abierto durante un largo periodo de tiempo, esto quiere decir que el condensador está totalmente descargado y por lo tanto, el instante t < 0, el valor de salida vo (t) = 0 V.


Ahora nos falta resolver el circuito para el instante t > 0.


El circuito es el que se puede observar en la siguiente figura:

Al estar presente un condensador, el circuito constará de dos partes, éstas son: Régimen permanente y Régimen transitorio, así que vamos a obtener los resultados de ambas partes para posteriormente, dar la solución a este problema.



· Régimen Permanente:

En el régimen permanente, se considera que ya ha pasado un largo período de tiempo y por lo tanto, el condensador le ha dado tiempo de cargarse completamente. Un condensador cargado en DC, se comporta como un circuito abierto.

Por lo tanto, el circuito resultante es el siguiente:

Otra información que nos proporciona el enunciado del problema es que el amplificador operacional es ideal, esto quiere decir que:

· V^- = V⁺ = V_A = 0 V


Prestamos atención al Nodo A: i₁ = i₂


Donde:


· i₁ = ( V₁ - V_A )/R₁ = V₁/R₁

· i₂ = ( V_A - v_Op )/R₂ =  - v_Op/R₂


Por lo tanto:

_· V₁/R₁ =  - v_Op/R₂


Obtener el valor de la tensión de salida es fácil:

·  v_Op = - ( R₂/ R₁ )·V₁


Sustituimos valores:

· v_Op = - ( 100·10³/10·10³ )·4·10^-3 =  - 40 mV.



· Régimen Transitorio:

El circuito resultante es el siguiente:

· NOTA: Se ha aplicado la técnica del condensador equivalente, una fuente de tensión con el valor de la carga inicial del condensador, en serie con un condensador sin carga de la misma capacidad que el original.


Otra información que nos proporciona el enunciado del problema es que el amplificador operacional es ideal, esto quiere decir que:

· V^- = V⁺ = V_A = 0 V


Prestamos atención al Nodo A: [Ec1] i₁ = i₂ + i₃


Donde:


· i₁ = ( V₁ - V_A )/R₁ = V₁/R₁

· i₂ = ( V_A - v_On )/R₂ =  - v_On/R₂

· i₃ =  i_C1 = C₁Dv_C1 = { v_C1 = V_A - v_On = - v_On } = - C₁Dv_On



Sustituimos valores en [Ec1]:

· V₁/R₁ = - C₁Dv_On - v_On/R₂


Manipulamos la expresión dividiendo por C₁:

· Dv_On + 1/( R₂C₁ )·v_On  =  - V₁/( R₁C₁ )


Llegados a este punto, ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la homogénea es la siguiente:

· [Ec2] Dv_On + 1/( R₂C₁ )·v_On  =  0


Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· v_On (t) = k·e^-A·t
· Dv_On (t) = -kA·e^-A·t


Sustituimos en [Ec2]:

-kA·e^-A·t + 1/( R₂C₁ )·k·e^-A·t  =  0

Analizamos el circuito en el instante t = 0, por lo tanto:

-kA + 1/( R₂C₁ )·k =  0

Despejamos el parámetro A:

· A = 1/( R₂C₁ ) = 1/( 100·10³·1·10^-6 ) = 10  s^-1


Por lo tanto, la constante de tiempo es:

· τ = 1/A = 1/10 = 0.1 s


Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el parámetro k, para ello, trabajaremos con la expresión del voltaje de salida completa:

· v_O (t) =  v_Op (t) + v_On (t) = - 40·10^-3 + k·e^-10t


Aplicaremos la condición del condensador:

· Condensador: La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.

Esto quiere decir lo siguiente, en el instante t = 0:

· v_C1(0^-) = v_C1(0+) = 0 V


Y teniendo en cuenta que la tensión del condensador es la misma pero con signo contrario, a la tensión de salida:

· v_C1 = V_A - v_On = - v_On 


Por lo tanto, tenemos lo siguiente:

· - 0 = - 40·10^-3 + k·e^-10·0


Despejamos el parámetro k:

· k = 40·10^-3


Así que, la solución a este problema es la siguiente:

· v_O (t)  =  v_Op (t) + v_On (t) = - 40·10^-3 + 40·10^-3·e^-10t = 40·( e^-10t - 1 )  mV, t >0


En modo resumen, la expresión matemática o la evolución de la tensión de salida  v_O( t ) teniendo en cuenta las circunstancias dadas, es la siguiente:

Cuya representación gráfica es la que se muestra a continuación:

---

Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 6: Transitorios de 1º Orden ( Amplificador Operacional IDEAL )

Problema 6 Problema 6

Problema5: Circuitos de 1º Orden Amplificadores Operacionales

Ej5. Dado el circuito de la figura teniendo en cuenta que el condensador está completamente descargado y considerando que el amplificador operacional es ideal.

Obtener la tensión de salida v_o( t ).



Antes de empezar a analizar el problema propuesto, vamos a prestar atención al valor de la fuente de tensión V₁ = 2·u(t), dicha variable u(t) significa función escalón, cuyo valor es el siguiente:

· t < 0: u(t) = 0.
· t > 0: u(t) = 1.


Por lo tanto en el instante t < 0, el valor de salida vo (t) = 0 V, teniendo en cuenta que el condensador está completamente descargado.


Ahora nos falta resolver el circuito para el instante t > 0.


Teniendo dicha consideración en cuenta, vamos a resolver el problema propuesto, para ello, vamos a separar el circuito en dos partes, tal y como se puede observar en la siguiente figura:

Por lo tanto, el problema se resolverá atendiendo a cada parte por separado.



· PARTE I:

En esta parte, el circuito resultante que tenemos es el siguiente:

Otra información que nos proporciona el enunciado del problema es que el amplificador operacional es ideal, esto quiere decir que:

· V^- = V⁺ = V_A = V₁ = 2·u(t) V


Prestamos atención en el Nodo A: i₁ = i₂


Por lo tanto:

· -2·u(t)/R₁ = [ ( 2·u(t) - V_B ) ]/R₂


Despejamos el parámetro que nos interesa V_B:

· V_B (t) = 2u(t)·[ ( R₁ + R₂ )/R₁ ]


Ya está resuelta la Parte I, ahora pasaremos a resolver la Parte II teniendo en cuenta la información obtenida de V_B (t).



· PARTE II:

En esta parte, el circuito resultante que tenemos es el siguiente:

Donde:

· V_B (t) = 2u(t)·[ ( R₁ + R₂ )/R₁ ]

Al ser un circuito transitorio de 1º Orden, tendremos que resolver tanto la parte permanente como la natural.


· Régimen Permanente:

En el régimen permanente, se considera que ya ha pasado un largo período de tiempo y por lo tanto, el condensador le ha dado tiempo de cargarse completamente. Un condensador cargado en DC, se comporta como un circuito abierto.

Por lo tanto, el circuito resultante es el siguiente:

Obtener el valor de la tensión de salida es fácil:

·  v_op = V_B (t) = 2u(t)·[ ( R₁ + R₂ )/R₁ ]


Sustituimos valores:

v_op = 2·[ ( 20·10³ + 40·10³ )/20·10³ ] = 6 V.



· Régimen Transitorio:

El circuito resultante es el siguiente:

 Realizamos un análisis en la malla del circuito:

· [Ec1] -V_B + V_R4 + V_C1 = 0


Donde:

· V_C1 = v_on

· V_R4 = i_c·R4  = R₄C₁Dv_on


Sustituimos valores en [Ec1]:

· -V_B + R₄C₁Dv_on + v_on = 0


Manipulamos la expresión dividiendo por R₄C₁:


· Dv_on + 1/( R₄C₁ )·v_on  =  V_B/( R₄C₁ )


Llegados a este punto, ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la homogénea es la siguiente:

· [Ec2] Dv_on + 1/( R₄C₁ )·v_on  =  0


Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· v_on (t) = k·e^-A·t
· Dv_on (t) = -kA·e^-A·t


Sustituimos en [Ec2]:

-kA·e^-A·t + 1/( R₄C₁ )·k·e^-A·t  =  0

Analizamos el circuito en el instante t = 0, por lo tanto:

-kA + 1/( R₄C₁ )·k =  0

Despejamos el parámetro A:

· A = 1/( R₄C₁ ) = 1/( 10·10³·2·10^-6 ) = 50  s^-1


Por lo tanto, la constante de tiempo es:

· τ = 1/A = 1/50 = 0.02 s


Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el parámetro k, para ello, trabajaremos con la expresión del voltaje de salida completa:

· v_o (t) =  v_op (t) + v_on (t) = 6 + k·e^-50t


Aplicaremos la condición del condensador ( teniendo en cuenta que tanto la tensión del condensador como la de salida es la misma ):

· Condensador: La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.

Esto quiere decir lo siguiente, en el instante t = 0:

· v_o(0^-) = v_o(0+)


Por lo tanto, tenemos lo siguiente:

· 0 = 6 + k·e^-50·0


Despejamos el parámetro k:

· k = -6


Así que, la solución a este problema es la siguiente:

· v_o (t)  =  v_op (t) + v_on (t) = 6 - 6·e^-50t = 6 ·( 1- e^-50t ) V, t >0


En modo resumen, la expresión matemática o la evolución de la tensión de salida  v_o( t ) teniendo en cuenta las circunstancias dadas, es la siguiente:

Cuya representación gráfica es la que se muestra a continuación:

---

Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 5: Transitorios de 1º Orden ( Amplificador Operacional IDEAL )

Problema 5 Problema 5

Problema4: Circuitos de 1º Orden Amplificadores Operacionales

Ej4. Teniendo en cuenta que el interruptor ha estado abierto durante un largo período de tiempo, en el instante t = 0, se cierra. Considerando que el amplificador operacional es ideal.

Si  V_s = 20 mV, obtener la tensión de salida v_o( t ).



Analizaremos el circuito en torno al cambio de estado del interruptor.



· Interruptor abierto; t < 0.


Como el enunciado indica que el interruptor ha estado abierto durante un largo período de tiempo, eso significa que el condensador está completamente descargado y por lo tanto, la tensión de salida es cero:

· v_o (t) = 0 V, t < 0.



· Interruptor cerrado; t = 0.


Plantearemos el circuito equivalente teniendo en cuenta que si el condensador está descargado inicialmente, su equivalente es una fuente de tensión con el valor de la carga en serie con un condensador del mismo valor pero sin carga.

Por lo tanto, el circuito resultante es el que se muestra a continuación:

Otra información que nos proporciona el enunciado del problema es que el amplificador operacional es ideal, esto quiere decir que:

· V^- = V⁺ = V_A = V_s = 20 mV


Realizamos el análisis mediante LVK:

· [Ec1] -v_o + V_C + V_C1 +  V_R1 = 0


Donde:

· V_C1 = v_o - V_A

· V_R1 = i_c·R₁

· V_C = 0 V


Sustituimos valores en [Ec1]:

· -v_o + v_o - V_A + i_c·R₁ = 0


Donde:

· i_c = C₁DV_C1 = C₁D( v_o - V_A )


Sustituimos y simplificamos:

· - V_A + R₁C₁D( v_o - V_A ) = 0


Manipulamos la expresión dividiendo por R₁C₁D:


· v_o - V_A  =  V_A/( R₁C₁D )


Realizamos la integral de una constante entre 0 y t ( es inmediata ):

· v_o - V_A  =  [ V_A/( R₁C₁ ) ]·t  + C( 0^- )


Donde:

· C( 0^- ) = { constante } = 0


Seguimos manipulando la expresión:

· v_o  =  [ V_A/( R₁C₁ ) ]·t  + V_A = V_A·[ ( 1/R₁C₁ )·t + 1 ]



Sustituimos valores:

· v_o  =  V_A·[ ( 1/( R₁C₁) )·t + 1 ] = 20·10^-3·[ ( 1/( 20·10³·5·10^-6 ) )·t + 1 ]


Simplificamos para obtener la solución a este problema:

· v_o  =  20·( 10·t + 1 ) mV, t > 0



En modo resumen, la expresión matemática o la evolución de la tensión de salida  v_o( t ) teniendo en cuenta las circunstancias dadas, es la siguiente:

Cuya representación gráfica es la que se muestra a continuación:

---

Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 4: Transitorios de 1º Orden ( Amplificador Operacional IDEAL )

Problema 4 Problema 4

Problema3: Circuitos de 1º Orden Amplificadores Operacionales

Ej3. Teniendo en cuenta que el condensador presenta una carga inicial de -2 V y considerando que el amplificador operacional es ideal.

Obtener la corriente de salida i( t ) siendo v_i = 3·u(t).




La tensión de entrada v_i, es una función escalón unitario, o lo que es lo mismo, como vamos a trabajar en el instante t = 0, dicha función escalón, antes de dicho instante su valor será: v_i = 0 V, y en el instante t = 0, su valor será: v_i = 3 V.


Otro dato interesante que nos ofrece el enunciado del problema es que el condensador presenta una carga inicial, así que plantearemos el circuito equivalente teniendo en cuenta que si el condensador está cargado inicialmente, su equivalente es una fuente de tensión con el valor de la carga en serie con un condensador del mismo valor pero sin carga.

Por lo tanto, el circuito resultante es el que se muestra a continuación:

Otra información que nos proporciona el enunciado del problema es que el amplificador operacional es ideal, esto quiere decir que:

· V^- = V⁺ = V_i = 3·u(t) V


· NOTA: Antes de entrar en cálculos, sabemos que circuitos de este tipo: Transitorios de 1º Orden, se debe obtener tanto el régimen transitorio como el régimen permanente, pero en nuestro caso, el régimen permanente es obvio, su valor es cero ( i_p= 0 A ) ya que el condensador se cargará y actuará como un circuito abierto.

Así que centraremos los datos en el condensador y en este caso, en el régimen transitorio.



Realizamos el análisis mediante LVK:

· [Ec1] -V^- + V_C + V_C1 +  V_R1 = 0


Donde:

· V_C1 = 1/( C₁·D)·( i_n )

· V_R1 = i_n·R₁


Sustituimos valores en [Ec1]:

· -V^- + V_C + 1/( C₁·D )·( i_n ) +  i_n·R₁ = 0


Manipulamos la expresión multiplicando por el parámetro D y dividiendo por R₁:


· Di_n + [ 1/( C₁·R₁ ) ]·i_n = D[ ( V^- - V_C )/R₁ ]


Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la ecuación homogénea es:


· [Ec2] Di_n + [ 1/( C₁·R₁ ) ]·i_n = 0


Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· i_n(t) = k·e^-A·t
· Di_n(t) = - kA·e^-A·t


Sustituimos en [Ec2]:

- k·A·e^-A·t + [ 1/( C₁·R₁ ) ]·k·e^-A·t = 0

Analizamos en circuito en el instante t = 0, por lo tanto:

- k·A + [ 1/( C₁·R₁ ) ]·k = 0

Despejamos el parámetro A:

· A = 1/( C₁·R₁ ) = 1/( 10·10^-6 · 10·10³ ) = 10 s^-1


Por lo tanto, la constante de tiempo en el instante t = 0 es:

· τ = 1/A = 1/10 = 0.1 s


Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del condensador.

· Condensador: La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.


Según el enunciado del problema, el condensador presenta una carga inicial de -2 V:

· v_C(0^-) = -2 V


En el instante t = 0:

· v_C(0^-) = v_C(0⁺)


Pero en nuestro caso, no estamos resolviendo el problema en función del condensador, sino en función de la corriente de salida, así que deberemos buscar la forma de poner todo en función de dicha corriente de salida, y para ello, sabemos que la corriente final será la suma de la corriente permanente más la corriente transitoria:

· i(t) = i_p + i_n = 0 + i_n = i_n


Por lo tanto:

· [Ec3] i(t) = i_n = C₁·D·( v_C )


Donde:

· i_n = k·e^-10·t

· v_C = -V^- + v_C = -3·u(t) + v_C  = {t = 0} = -3·1 + (-2) = - 3 - 2 = -5 V


Sustituimos en [Ec3]:

· k·e^-10·t = C₁·D·( -V^- + v_C  )


Dividimos por el parámetro D:

· 1/D·( k·e^-10·t ) = C₁·( -V^- + v_C  )


Realizamos la integral ( es inmediata ):

· -( k/10 )·e^-10·t  = C₁·( -V^- + v_C  )


Analizamos en t = 0:

· -( k/10 ) = C₁·( -5  )


Sustituimos valores y despejamos k:

· k = 10·5·10·10^-6 = 0.5·10^-3


Así que, una expresión para la corriente es:


· i(t) = i_p + i_n = 0 + i_n = i_n = 0.5·e^-10·t mA, t > 0



En modo resumen, la expresión matemática o la evolución de la corriente de salida  i( t ) dadas las circunstancias dadas, es la siguiente:

Cuya representación gráfica es la que se muestra a continuación:

---

Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 3: Transitorios de 1º Orden ( Amplificador Operacional IDEAL )

Problema 3 Problema 3

Problema2: Circuitos de 1º Orden Amplificadores Operacionales

Ej2. Teniendo en cuenta que el condensador presenta una carga inicial de 4 V y considerando que el amplificador operacional es ideal.

Obtener la tensión de salida v_o( t ).




En este problema no tenemos ninguna fuente de excitación, simplemente nos dicen que el condensador presenta una carga inicial, así que, vamos a adaptar el circuito resultante para empezar a resolver el problema y para ello, sabemos que el equivalente a un condensador cargado es el valor de su tensión en serie, con un condensador equivalente del mismo valor pero sin carga.

Por lo tanto, el circuito resultante es el que se muestra a continuación:

Otra información que nos proporciona el enunciado del problema es que el amplificador operacional es ideal, esto quiere decir que:

· V^- = V⁺ = V_A = 0
· i₁ = i₂ + i₃.


Dicho de otra manera:

· El nodo V⁺ del amplificador operacional está conectado a tierra, por lo que su valor es cero, eso quiere decir que el nodo negativo es cero también, y en nuestro caso: V^- = V_A.


Bien, teniendo en cuenta dichas premisas, vamos a resolver el circuito en torno al nodo A.


· NOTA: Antes de entrar en cálculos, sabemos que circuitos de este tipo: Transitorios de 1º Orden, se debe obtener tanto el régimen transitorio como el régimen permanente, pero en nuestro caso, el régimen permanente es obvio, su valor es cero ( v_p= 0 V ) ya que el condensador se descargará completamente y no existe ninguna fuente de excitación para volverlo a cargar.

Así que centraremos los datos en el condensador y en este caso, en el régimen transitorio.



Realizamos el análisis mediante LVK en torno al nodo A:

· [Ec1] i₁ = i₂ + i₃.


Donde:

· i₁ = ( 0 - V_A )/R₁

· i₂ = ( V_A - v_o )/R₂

· i₃ = C₁·Dv_n = C₁·D( V_A - v_o + v_C(t^-) ) = - C₁·Dv_o


Sustituimos valores en [Ec1]:

· [Ec2] ( 0 - V_A )/R₁  =  ( V_A - v_o )/R₂ + - C₁·Dv_o = 0


Dónde:

· V^- = V⁺ = V_A = 0


Sustituimos el valor en [Ec2] y dividimos por C₁:

· Dv_o + [1/(C₁·R₂)]·V_o = 0


Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la ecuación homogénea es:


· [Ec3] Dv_o + [1/(C₁·R₂)]·v_o = 0


Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· v_o(t) = k·e^-A·t
· Dv_o(t) = - kA·e^-A·t


Sustituimos en [Ec3]:

- k·A·e^-A·t + [1/(C₁·R₂)]·k·e^-A·t = 0

Analizamos en circuito en el instante t = 0, por lo tanto:

- k·A + [1/(C₁·R₂)]·k = 0

Despejamos el parámetro A:

· A = 1/( C₁·R₂ ) = 1/( 10·10^-6 · 50·10³ ) = 2 s^-1


Por lo tanto, la constante de tiempo en el instante t = 0 es:

· τ = 1/A = 1/2 = 0.5 s


Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del condensador.

· Condensador: La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.


Según el enunciado del problema, el condensador presenta una carga inicial de 4 V:

· v_C(0^-) = 4 V


En el instante t = 0:

· v_C(0^-) = v_C(0⁺)


Pero en nuestro caso, no estamos resolviendo el problema en función del condensador, sino en función de la tensión de salida, así que deberemos buscar la forma de poner todo en función de dicha tensión de salida, y para ello, nos fijamos en la tensión del condensador:

· 4 = v_p + v_n = v_p + ( V_A - v_o ) = 0 - v_o


Por lo tanto:

· v_o = - 4 = k·e^-2t = {t = 0} = k


Despejamos k:

· k = - 4


Así que, una expresión para la tensión de salida es:

· v_o(t) = - 4·e^-2t  V, t > 0



En modo resumen, la expresión matemática o la evolución de la tensión de salida  v_o( t ) dadas las circunstancias dadas, es la siguiente:

Cuya representación gráfica es la que se muestra a continuación:

---

Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 2: Transitorios de 1º Orden ( Amplificador Operacional IDEAL )

Problema 2 Problema 2

Problema1: Circuitos de 1º Orden Amplificadores Operacionales

Ej1. Teniendo en cuenta que el condensador presenta una carga inicial de 3V y considerando que el amplificador operacional es ideal.

Obtener la tensión de salida v_o( t ).




En este problema no tenemos ninguna fuente de excitación, simplemente nos dicen que el condensador presenta una carga inicial, así que, vamos a adaptar el circuito resultante para empezar a resolver el problema y para ello, sabemos que el equivalente a un condensador cargado es el valor de su tensión en serie, con un condensador equivalente del mismo valor pero sin carga.

Por lo tanto, el circuito resultante es el que se muestra a continuación:

Otra información que nos proporciona el enunciado del problema es que el amplificador operacional es ideal, esto quiere decir que:

· V^- = V⁺ = V_A = 0
· i₁ = i₂ = i_C1.


Dicho de otra manera:

· El nodo V⁺ del amplificador operacional está conectado a tierra, por lo que su valor es cero, eso quiere decir que el nodo negativo es cero también, y en nuestro caso: V^- = V_A.

· Y la única corriente del circuito es la proporcionada por el condensador.


Bien, teniendo en cuenta dichas premisas, vamos a resolver el circuito en torno al nodo A.


· NOTA: Antes de entrar en cálculos, sabemos que circuitos de este tipo: Transitorios de 1º Orden, se debe obtener tanto el régimen transitorio como el régimen permanente, pero en nuestro caso, el régimen permanente es obvio, su valor es cero ( v_p= 0 V ) ya que el condensador se descargará completamente y no existe ninguna fuente de excitación para volverlo a cargar.

Así que centraremos los datos en el condensador y en este caso, en el régimen transitorio.



· Corriente i₁:

Realizamos el análisis mediante LVK:


· [Ec1] v_n + i₁·R₁ + ( v_C(t^-) + V_A ) = 0


Dónde:

· i_c = C₁·Dv_n
· V^- = V⁺ = V_A = 0


Sustituimos el valor en [Ec1] y dividimos por C₁·R₁:

· Dv_n + [1/(C₁·R₁)]·V_n = - V₁/(C₁·R₁)


Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la ecuación homogénea es:


· [Ec2] Dv_n + [1/(C₁·R₁)]·v_n = 0


Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· v_n(t) = k·e^-A·t
· Dv_n(t) = - kA·e^-A·t


Sustituimos en [Ec2]:

- k·A·e^-A·t + [1/(C₁·R₁)]·k·e^-A·t = 0

Analizamos en circuito en el instante t = 0, por lo tanto:

- k·A + [1/(C₁·R₁)]·k = 0

Despejamos el parámetro A:

· A = 1/( C₁·R₁ ) = 1/( 5·10^-6 · 20·10³ ) = 10 s^-1


Por lo tanto, la constante de tiempo en el instante t = 0 es:

· τ = 1/A = 1/10 = 0.1 s


Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del condensador.

· Condensador: La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.


Según el enunciado del problema, el condensador presenta una carga inicial de 3 V:

· v_C(0^-) = 3 V


En el instante t = 0:

· v_C(0^-) = v_C(0⁺)


Por lo tanto:

· 3 = v_p + v_n = 0 + k·e^-10t = {t = 0} = k


Despejamos k:

· k = 3


Así que, una expresión para la tensión del condensador es:

· v_C(t) = 3·e^-10t  V, t > 0



· Corriente i₂:

Realizamos el análisis mediante LVK:


· [Ec3] ( V_A - v_o )/R₂ = i_C


Dónde:

· i_C = C₁·Dv_n
· V^- = V⁺ = V_A = 0


Sustituimos el valor en [Ec3] y dividimos por C₁:

· Dv_n = - v_o/( C₁·R₂ )


Despejamos el parámetro que nos interesa, v_o:

· v_o = - C₁·R₂·Dv_n


En estos momentos disponemos del valor de la tensión del condensador, así que sustituimos para aplicar la derivada:

· v_o = - C₁·R₂·Dv_n = - C₁·R₂·D( 3·e^-10t ) = - C₁·R₂·( - 30·e^-10t )


Sustituimos valores para obtener la solución de este problema:

· v_o = - C₁·R₂·( - 30·e^-10t ) = - ( 5·10^-6 · 80·10³ )·( - 30·e^-10t ) = - 0.4·( - 30·e^-10t ) = 12·e^-10t


En modo resumen, la expresión matemática o la evolución de la tensión de salida  v_o( t ) dadas las circunstancias dadas, es la siguiente:

Cuya representación gráfica es la que se muestra a continuación:

---

Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 1: Transitorios de 1º Orden ( Amplificador Operacional IDEAL )

Problema 1 Problema 1