Aqueronte: Problema4: Circuitos de 1º Orden Amplificadores Operacionales

Ej4. Teniendo en cuenta que el interruptor ha estado abierto durante un largo período de tiempo, en el instante t = 0, se cierra. Considerando que el amplificador operacional es ideal.

Si V_s= 20 mV, obtener la tensión de salida v_o( t ).

Analizaremos el circuito en torno al cambio de estado del interruptor.

· Interruptor abierto; t < 0.

Como el enunciado indica que el interruptor ha estado abierto durante un largo período de tiempo, eso significa que el condensador está completamente descargado y por lo tanto, la tensión de salida es cero:

· v_o (t) = 0 V, t < 0.

· Interruptor cerrado; t = 0.

Plantearemos el circuito equivalente teniendo en cuenta que si el condensador está descargado inicialmente, su equivalente es una fuente de tensión con el valor de la carga en serie con un condensador del mismo valor pero sin carga.

Por lo tanto, el circuito resultante es el que se muestra a continuación:

Otra información que nos proporciona el enunciado del problema es que el amplificador operacional es ideal, esto quiere decir que:

· V^- = V⁺= V_A= V_s= 20 mV

Realizamos el análisis mediante LVK:

· [Ec1] -v_o + V_C + V_C1+ V_R1= 0

Donde:

· V_C1= v_o- V_A
· V_R1= i_c·R₁

· V_C= 0 V

Sustituimos valores en [Ec1]:

· -v_o + v_o - V_A + i_c·R₁= 0

Donde:

· i_c= C₁DV_C1= C₁D( v_o- V_A)

Sustituimos y simplificamos:

· - V_A + R₁C₁D( v_o- V_A)= 0

Manipulamos la expresión dividiendo por R₁C₁D:

· v_o- V_A= V_A/( R₁C₁D )

Realizamos la integral de una constante entre 0 y t ( es inmediata ):

· v_o- V_A= [ V_A/( R₁C₁ ) ]·t + C( 0^- )

Donde:

· C( 0^- )= { constante } = 0

Seguimos manipulando la expresión:

· v_o= [ V_A/( R₁C₁ ) ]·t + V_A= V_A·[ ( 1/R₁C₁ )·t + 1 ]

Sustituimos valores:

· v_o= V_A·[ ( 1/( R₁C₁) )·t + 1 ] = 20·10^-3·[ ( 1/( 20·10³·5·10^-6) )·t + 1 ]

Simplificamos para obtener la solución a este problema:

· v_o= 20·( 10·t + 1 ) mV, t > 0

En modo resumen, la expresión matemática o la evolución de la tensión de salida v_o( t ) teniendo en cuenta las circunstancias dadas, es la siguiente: