Aqueronte: Problema5: Circuitos de 1º Orden Amplificadores Operacionales

Ej5. Dado el circuito de la figura teniendo en cuenta que el condensador está completamente descargado y considerando que el amplificador operacional es ideal.

Obtener la tensión de salida v_o( t ).

Antes de empezar a analizar el problema propuesto, vamos a prestar atención al valor de la fuente de tensión V₁ = 2·u(t), dicha variable u(t) significa función escalón, cuyo valor es el siguiente:

· t < 0: u(t) = 0.
· t > 0: u(t) = 1.

Por lo tanto en el instante t < 0, el valor de salida vo (t) = 0 V, teniendo en cuenta que el condensador está completamente descargado.

Ahora nos falta resolver el circuito para el instante t > 0.

Teniendo dicha consideración en cuenta, vamos a resolver el problema propuesto, para ello, vamos a separar el circuito en dos partes, tal y como se puede observar en la siguiente figura:

Por lo tanto, el problema se resolverá atendiendo a cada parte por separado.

· PARTE I:

En esta parte, el circuito resultante que tenemos es el siguiente:

Otra información que nos proporciona el enunciado del problema es que el amplificador operacional es ideal, esto quiere decir que:

· V^- = V⁺= V_A= V₁= 2·u(t) V

Prestamos atención en el Nodo A: i₁ = i₂

Por lo tanto:

· -2·u(t)/R₁ = [ ( 2·u(t) - V_B) ]/R₂

Despejamos el parámetro que nos interesa V_B:

· V_B (t) = 2u(t)·[ ( R₁+R₂ )/R₁ ]

Ya está resuelta la Parte I, ahora pasaremos a resolver la Parte II teniendo en cuenta la información obtenida de V_B (t).

· PARTE II:

En esta parte, el circuito resultante que tenemos es el siguiente:

Donde:

· V_B (t) = 2u(t)·[ ( R₁+R₂ )/R₁ ]

Al ser un circuito transitorio de 1º Orden, tendremos que resolver tanto la parte permanente como la natural.

· Régimen Permanente:

En el régimen permanente, se considera que ya ha pasado un largo período de tiempo y por lo tanto, el condensador le ha dado tiempo de cargarse completamente. Un condensador cargado en DC, se comporta como un circuito abierto.

Por lo tanto, el circuito resultante es el siguiente:

Obtener el valor de la tensión de salida es fácil:

· v_op= V_B (t) = 2u(t)·[ ( R₁+R₂ )/R₁ ]

Sustituimos valores:

v_op= 2·[ ( 20·10³+ 40·10³ )/20·10³ ] = 6 V.

· Régimen Transitorio:

El circuito resultante es el siguiente:

Realizamos un análisis en la malla del circuito:

· [Ec1] -V_B + V_R4 + V_C1= 0

Donde:

· V_C1= v_on
· V_R4= i_c·R4 = R₄C₁Dv_on

Sustituimos valores en [Ec1]:

· -V_B + R₄C₁Dv_on + v_on= 0

Manipulamos la expresión dividiendo por R₄C₁:

· Dv_on + 1/( R₄C₁ )·v_on= V_B/( R₄C₁ )

Llegados a este punto, ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la homogénea es la siguiente:

· [Ec2] Dv_on + 1/( R₄C₁ )·v_on= 0

Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· v_on (t) = k·e^-A·t
· Dv_on (t) = -kA·e^-A·t

Sustituimos en [Ec2]:

-kA·e^-A·t + 1/( R₄C₁ )·k·e^-A·t= 0

Analizamos el circuito en el instante t = 0, por lo tanto:

-kA + 1/( R₄C₁ )·k = 0

Despejamos el parámetro A:

· A = 1/( R₄C₁ ) = 1/( 10·10³·2·10^-6 ) = 50 s^-1

Por lo tanto, la constante de tiempo es:

· τ = 1/A = 1/50 = 0.02 s

Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el parámetro k, para ello, trabajaremos con la expresión del voltaje de salida completa:

· v_o (t) = v_op (t) + v_on (t) = 6 + k·e^-50t

Aplicaremos la condición del condensador ( teniendo en cuenta que tanto la tensión del condensador como la de salida es la misma ):

· Condensador: La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.

Esto quiere decir lo siguiente, en el instante t = 0:

· v_o(0^-) = v_o(0+)

Por lo tanto, tenemos lo siguiente:

· 0 = 6 + k·e^-50·0

Despejamos el parámetro k:

· k = -6

Así que, la solución a este problema es la siguiente:

· v_o(t) = v_op (t) + v_on (t) = 6 - 6·e^-50t= 6 ·( 1- e^-50t) V, t >0

En modo resumen, la expresión matemática o la evolución de la tensión de salida v_o( t ) teniendo en cuenta las circunstancias dadas, es la siguiente: