Ej5. Los interruptores S1 y S2 han estado abiertos durante un largo período de tiempo. En t = 0, se cierran ambos interruptores, y en t = 1 s, abrimos el interruptor S2.
Obtener la evolución de i(t).
Nos piden obtener el valor de i(t) que se muestra en el enunciado del problema, para el ello, debemos prestar atención a las condiciones que nos expone el enunciado.
· Los interruptores han estado abiertos por un largo período de tiempo: Esto significa que ambos inductores no están cargados.
Una vez tenemos clara las condiciones del problema, vamos a abordarlo teniendo en cuenta las posiciones de los interruptores en los momentos indicados por el enunciado del problema.
· t = 0. S1 y S2 Cerrados:
En esta posición, sólo tenemos presente el inductor L1, tal y como se indica en la siguiente figura:
Para este caso, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (in) y por el otro: El régimen permanente (ip). La solución general será del tipo:
· i(0+) = ip + in
Así que vamos a obtener los dos por separado.
· Régimen Permanente:
Este caso, ambos interruptores cerrados durante un largo período de tiempo, por lo que, el inductor se cargará completamente y se comportará como un corto circuito.
El circuito que tenemos es el siguiente:
Obtener la corriente es fácil:
· ip = V/R = 10/1 = 10 A.
El inductor se cargará hasta la intensidad máxima que proporciona el circuito, en este caso, hasta 10 A.
· Régimen Transitorio:
El inductor se está cargando, realizamos el análisis mediante LVK:
· [Ec1] R·in + L1Din - V = 0
Dividimos por L1:
· Din + (R/L1)·in = V/L1
Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la ecuación homogénea es:
· [Ec2] Din + (R/L1)·in = 0
Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:
· in(t) = k·e-A·t
Realizamos la primera derivada y sustituimos en [Ec2]:
- k·A·e-A·t + (R/L1)·k·e-A·t = 0
Analizamos en circuito en el instante t = 0 (ambos interruptores cerrados), por lo tanto:
- k·A + (R/L1)·k = 0
Despejamos el parámetro A:
· A = R/L1 = 1/1 = 1 s-1
Por lo tanto, la constante de tiempo en el instante t = 0 es:
· τ = 1/A = 1/1 = 1 s
Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del inductor.
· Inductor: La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.
En el instante t = 0 (el inductor está totalmente descargado):
· i(0-) = i(0+)
Por lo tanto:
· 0 = ip + in = 10 + k·e-t = {t = 0} = 10 + k
Despejamos k:
· k = - 10
Así que, una expresión para la corriente que nos pide el enunciado del problema es:
· i(t) = 10 - 10·e-t = 10·(1 - e-t), t = 0
Ahora, vamos a estudiar el circuito en con la siguiente condición.
· t = 1s. S1 Cerrado y S2 Abierto:
El circuito que tenemos con estas condiciones es el siguiente:
Al igual que antes, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (in) y por el otro: El régimen permanente (ip). La solución general será del tipo:
· i(1+) = ip + in
Así que vamos a obtener los dos por separado.
· Régimen Permanente:
Este caso, suponemos que el circuito permanece en esa posición durante un largo período de tiempo, por lo que, ambos inductores se cargarán completamente y se comportarán como un corto circuito.
El circuito que tenemos es el siguiente:
Obtener la corriente es fácil:
· ip = V/R = 10/1 = 10 A.
Ambos inductores se cargarán hasta la intensidad máxima que proporciona el circuito, en este caso, hasta 10 A.
· Régimen Transitorio:
Los inductores se están cargando, realizamos el análisis mediante LVK:
· [Ec1] R·in + (L1 + L2)Din - V = 0
Dividimos por (L1 + L2):
· Din + [R/(L1 + L2)]·in = V/(L1 + L2)
Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la ecuación homogénea es:
· [Ec2] Din + [R/(L1 + L2)]·in = 0
Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:
· in(t) = k·e-A·(t - 1)
· NOTA: El instante en la solución es (t - 1) y no t ya que estamos evaluando el circuito desde el instante t = 1 s.
Realizamos la primera derivada y sustituimos en [Ec2]:
- k·A·e-A·(t - 1) + [R/(L1 + L2)]·k·e-A·(t - 1) = 0
Analizamos en circuito en el instante t = 1 (ambos interruptores cerrados), por lo tanto:
- k·A + [R/(L1 + L2)]·k = 0
Despejamos el parámetro A:
· A = R/(L1 + L2) = 1/(1 + 1) = 1/2 = 0.5 s-1
Por lo tanto, la constante de tiempo en el instante t = 1 es:
· τ = 1/A = 2 s
Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del inductor.
· Inductor: La corriente no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.
· NOTA: ¡Cuidado! Porque aquí está la clave del ejercicio, el inductor que tenemos ahora es distinto al inductor que teníamos antes, nuestro inductor de ahora es:
· Lequ = L1 + L2 = 1 + 1 = 2 H.
Y nuestro inductor de antes era:
· L1 = 1 H.
El inductor equivalente que tenemos presente en nuestro circuito (instante t = 1 s) es dos veces al valor del inductor que teníamos en el instante t = 0.
Por lo tanto, para emplear la condición del inductor, debemos tenerlo presente de la siguiente manera.
En el instante t = 1 s (hay que tener en cuenta que el inductor presenta una carga inicial):
· i(1-) = 2i(1+)
Por lo tanto:
· 10·(1 - e-t) = ip + in = 2·[10 + k·e-(t - 1)/2]
En el instante t = 1 s:
· (10/2)·(1 - e-1) = 10 + k
Despejamos k:
· k = 5·(1 - e-1) - 10 ≈ - 6.839397
Así que, una expresión para la corriente que nos pide el enunciado del problema es:
· i(t) = 10 - 6.839397·e- (t - 1)/2, t ≥ 1
En modo resumen, la expresión matemática para la intensidad que nos pide el enunciado del problema, se muestra a continuación:
Una representación gráfica de la evolución de la corriente dadas las condiciones del problema, se muestra a continuación:
Os dejo una simulación realizada en LTSpice:
| Problema 5: Transitorios de 1º Orden | |||||||||
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La simulación no es fiel a las especificaciones del problema, ya que, entre otras cosas, simular un interruptor en LTSpice es algo complicado. Aún así, se puede ver perfectamente cómo evoluciona la corriente requerida en el enunciado del problema.
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