Aqueronte: Problema9: Circuitos de 2º Orden

Ej9. En el circuito de la figura, el interruptor ha estado abierto durante un largo período de tiempo. En el instante t = 0, se cierra el interruptor:

Obtener la evolución de la tensión v(t).

Vamos a abordar este problema dependiendo del estado del interruptor y en qué instante se produce dicho cambio.

· t < 0. S₁ Abierto.

El enunciado del problema nos dice que el interruptor ha estado durante un largo período de tiempo abierto, por lo que solo estará presente el régimen permanente, en otras palabras, el condensador se comportará como un circuito abierto y el inductor como un corto circuito.

El circuito será el que se muestra a continuación:

Para mejor claridad, hacemos un cambio de fuentes (de corriente a tensión):

Donde:

· V_eq1 = I₁·R₁ = 4·1 = 4 V
· V_eq2 = I₂·R₂ = 2·6 = 12 V

Obtener el dato de la tensión es fácil, es el equivalente a las fuentes de tensión:

· v_p = V_eq1 - V_eq2 = 4 - 12 = - 8 V

Nos interesa saber si los elementos, en este instante, se han cargado o no:

· V_C1p= v_p = - 8 V
· I_L1p= 0 A

Ahora, pasamos a estudiar el circuito en el instante t = 0, cuando el interruptor se cierra.

· t = 0. S₁ Cerrado.

El circuito equivalente que tenemos es el siguiente:

Realizamos una conversión de fuente para acondicionar el circuito y poder ser resuelto de manera más fácil:

Donde:

· V_eq2 = I₂·R₂ = 6·2 = 12 V

Y ahora, vamos aplicar las condiciones de equivalencia de los elementos que pudiesen estar cargados. El circuito equivalente es el siguiente:

Las condiciones de equivalencia:

· Condensador: Un condensador sin polaridad y de la misma capacidad pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de tensión lineal en serie de valor y polaridad a la carga inicial del condensador.

· Inductor: Un inductor del mismo valor pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de corriente lineal en paralelo de valor y polaridad a la carga inicial del inductor.

· NOTA: Tanto el condensador C₂ cómo el inductor L₂ es de la misma capacidad e inductancia respectivamente, que el condensador inicial del circuito (C₁) y la inductancia inicial del circuito (L₁), pero no tiene la misma polaridad y ninguna carga inicial, es por ello, que al no ser el mismo (ya que hemos empleado las condiciones de equivalencia para cuando existen elementos cargados), se ha nombrado cómo: C₂ y L₂.

En estas condiciones, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (v_n) y por el otro: El régimen permanente (v_p). La solución general será del tipo:

· v(0⁺) = v_p + v_n

Así que vamos a obtener los dos por separado.

· Régimen Permanente:

Este caso, el circuito ha estado en la configuración presentada, durante un largo período de tiempo. El inductor se comportará como un corto circuito y el condensador como un circuito abierto.

En este caso, obtener la solución es fácil:

· v_p = - V_eq2 = - 12 V

Y es necesario ver si los elementos presentan alguna carga:

· V_C2p = v_p = - V_eq2 = - 12 V
· I_L2p = 0 A

· Régimen Transitorio:

Realizamos el análisis mediante LVK:

· [Ec1] V_eq2 + V_R2 + V_L2 + v_n = 0

Donde:

· V_L2 = L₂Di_n
· V_R2 = i_n·R₂
· v_n = - V_p(o^-) + V_C2

Sustituimos en [Ec1]:

· [Ec2] i_n·R₂ + L₂Di_n - V_p(o^-) + V_C2 = - V_eq2

Al estar los elementos en serie, todos comparten la misma corriente:

· i_n = i_L2 = i_C2 = C₂DV_C2 = C₂D(V_p(o^-) + v_n)
· V_C2 = V_p(o^-) + v_n

Ya podemos sustituir los valores obtenidos en la [Ec2]:

· R₂·C₂D(V_p(o^-) + v_n) + L₂·C₂D²(V_p(o^-) + v_n) - V_p(o^-) + V_p(o^-) + v_n = - V_eq2

Reordenamos y dividimos por C₂·L₂:

· D²v_n + Dv_n·(R₂/L₂) + (1/(L₂·C₂))·v_n = - V_eq2/L₂·C₂

Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 2º Orden, cuya homogénea es:

· D²v_n + Dv_n·(R₂/L₂) + (1/(L₂·C₂))·v_n = 0

Que sabemos que debe ser del tipo:

· s² + 2α·s + w²₀ = 0

Y en este caso, los parámetros α y w₀son:

· Factor de amortiguamiento ≡ α = R₂/2L₂ = 6/(2·1) = 3 s^-1
· Frecuencia natural ≡ w₀ = √[ (1/L₂·C₂)] = √[ (1/1·1/25)] = √25 = 5 rad/s

Y teniendo el valor de estos dos parámetros, podemos determinar cual es el comportamiento de nuestro circuito. En nuestro caso:

· α < w₀

Al ser la frecuencia natural mayor que el factor de amortiguamiento, el comportamiento de nuestro circuito es: Respuesta Subamortiguada, cuya solución a la respuesta homogénea es:

· v_n(t) = e^-α·t·[k₁·cos(w_d·t) + k₂·sin(w_d·t)]

Dónde:

· Frecuencia natural amortiguada ≡ w_d = (w²₀ - α²)^1/2= (5² - 3²)^1/2= 4 rad/s

Por lo tanto, la solución completa es, la compuesta por la respuesta permanente más la respuesta transitoria:

· v(t) = v_p + v_n = - 12 + e^-2·t·[k₁·cos(4·t) + k₂·sin(4·t)]

Ya tenemos la estructura de cómo será la evolución de la tensión al cerrarse el interruptor de nuestro circuito. Nos falta obtener los valores de los parámetros.

Para ello, vamos a aplicar las condiciones iniciales de los componentes que forman nuestro circuito.

· Inductor:

Al estar los elementos en serie, a todos le atraviesa la misma intensidad:

· i_L2 = i_C2

Donde:

· i_C2 = C₂D(v(t) + V_p(0^-)) = C₂Dv(t)

Obtenemos la primera derivada de la tensión v(t):

· Di(t) = - 3e^-3·t·[k₁·cos(4·t) + k₂·sin(4·t)] + e^-3·t·[- 4k₁·sin(4·t) + 4·k₂·cos(4·t)]

Y teniendo en cuenta la condición del inductor:

· i_L2(t^-) = i_L2(t⁺)

En el instante t = 0:

· i_L2(0) = 0 A
· Dv(0) = - 3k₁ + 4k₂

El inductor L₂ está totalmente descargado, por lo tanto, en el instante t = 0:

· 0 = C₂·[ - 3k₁ + 4k₂]

Por lo tanto, tenemos la primera ecuación con dos incógnitas:

· [ExpI] - 3k₁ + 4k₂= 0

Pasamos a evaluar las condiciones iniciales del condensador para obtener la segunda expresión necesaria.

· Condensador:

Al tener el circuito equivalente del comportamiento de los elementos cargados, vamos a analizarlo. Volvemos a realizamos un análisis de LVK:

· [Ec1] V_eq2 + V_R2 + V_L2 + v = 0

Donde:

· V_L2 = L₂Di
· V_R2 = i·R₂
· v = - V_p(o^-) + V_C2

Sustituimos en [Ec1]:

· [Ec2] i·R₂ + L₂Di - V_p(o^-) + V_C2 = - V_eq2

Al estar los elementos en serie, todos comparten la misma corriente:

· i = i_L2 = i_C2 = C₂DV_C2 = C₂D(V_p(o^-) + v)
· V_C2 = V_p(o^-) + v

Ya podemos sustituir los valores obtenidos en la [Ec2]:

· [Ec3] R₂·C₂D(V_p(o^-) + v) + L₂·C₂D²(V_p(o^-) + v) + V_C2 = - V_eq2 + V_p(o^-)

Obtenemos la primera y segunda derivada de la tensión v(t):

· Di(t) = - 3e^-3·t·[k₁·cos(4·t) + k₂·sin(4·t)] + e^-3·t·[- 4k₁·sin(4·t) + 4·k₂·cos(4·t)]
· D²v(t) = 9e^-3·t·[k₁·cos(4·t) + k₂·sin(4·t)] - 3e^-3·t·[- 4k₁·sin(4·t) + 4·k₂·cos(4·t)] - 3e^-3·t·[- 4k₁·sin(4·t) + 4·k₂·cos(4·t)] + e^-3·t·[- 16k₁·cos(4·t) - 16·k₂·sin(4·t)]

Teniendo en cuenta la condición que debe cumplir el condensador:

· V_C2(t^-) = V_C2(t⁺)

En el instante t = 0:

· V_C2(0^-) = 0 V
· Dv(0) = - 3k₁ + 4k₂
· D²v(0) = - 7k₁ - 24k₂

Sustituimos en [Ec3]:

· R₂·C₂(- 3k₁ + 4k₂) + L₂·C₂(- 7k₁ - 24k₂) = - V_eq2 + V_p(o^-)

Sustituimos por los valores de los elementos implicados y obtenemos la segunda expresión:

· [ExpII] k₁= V_eq2 - V_p(o^-) = 12 - 8 = 4

Ya tenemos las dos ecuaciones con dos incógnitas:

· [ExpI] - 3k₁+ 4k₂ = 0
· [ExpII] k₁ = 4

Resolvemos, ya sea mediante Gauss o cambiando la variable de una ecuación a otra, y obtenemos los siguiente valores para los parámetros requeridos:

· k₁ = 4
· k₂ = 3

Ya hemos obtenido ambos parámetros, por lo que, una expresión para la tensión del condensador (y la que nos piden obtener en el problema) es:

· v(t) = - 12 + e^-3·t·[4·cos(4·t) + 3·sin(4·t)], t ≥ 0

Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de la corriente, dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, es: