Aqueronte: Problema10: Circuitos de 2º Orden

Ej10. En el circuito de la figura, el interruptor ha estado abierto durante un largo período de tiempo. En el instante t = 0, se cierra el interruptor:

Obtener la evolución de la tensión v(t).

Vamos a abordar este problema dependiendo del estado del interruptor y en qué instante se produce dicho cambio.

· t < 0. S₁ Abierto.

El enunciado del problema nos dice que el interruptor ha estado durante un largo período de tiempo abierto, en este caso, tanto C₁, L₁ y R₁ no entran en juego (teniendo en cuenta que el enunciado no nos dice nada de una posible carga inicial, por lo que las consideramos nulas), por lo que sus valores son:

· V_C1p= v_p = 0 V
· I_L1p= 0 A

Ahora, pasamos a estudiar el circuito en el instante t = 0, cuando el interruptor se cierra.

· t = 0. S₁ Cerrado.

El circuito equivalente que tenemos es el siguiente:

Realizamos una conversión de fuente para acondicionar el circuito y poder ser resuelto de manera más fácil:

Donde:

· V_eq1 = I₁·R₂ = 5·2 = 10 V

El circuito que tenemos es el siguiente:

Donde:

· R_eq1 = R₂ + R₃ = 2 + 3 = 5 Ω
· V_eq2 = V₁ - V_eq1 = 12 - 10 = 2 V

Volvemos a realizar otra conversión de fuentes (de tensión a intensidad):

Donde:

· I_eq1 = V_eq1/R_eq1 = 2/5 = 0.4 A

Y por fin, el circuito equivalente que tenemos es el siguiente:

Donde:

· R_eq2 = R₁ || R_eq1 = 5/6 Ω

Y ahora, vamos aplicar las condiciones de equivalencia de los elementos que pudiesen estar cargados. El circuito equivalente es el siguiente:

Las condiciones de equivalencia:

· Condensador: Un condensador sin polaridad y de la misma capacidad pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de tensión lineal en serie de valor y polaridad a la carga inicial del condensador.

· Inductor: Un inductor del mismo valor pero sin ninguna carga inicial, con una fuente de corriente lineal en paralelo de valor y polaridad a la carga inicial del inductor.

· NOTA: Tanto el condensador C₂ cómo el inductor L₂ es de la misma capacidad e inductancia respectivamente, que el condensador inicial del circuito (C₁) y la inductancia inicial del circuito (L₁), pero no tiene la misma polaridad y ninguna carga inicial, es por ello, que al no ser el mismo (ya que hemos empleado las condiciones de equivalencia para cuando existen elementos cargados), se ha nombrado cómo: C₂ y L₂.

En estas condiciones, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (v_n) y por el otro: El régimen permanente (v_p). La solución general será del tipo:

· v(0⁺) = v_p + v_n

Así que vamos a obtener los dos por separado.

· Régimen Permanente:

Este caso, el circuito ha estado en la configuración presentada, durante un largo período de tiempo. El inductor se comportará como un corto circuito y el condensador como un circuito abierto.

En este caso, obtener la solución es fácil:

· v_p = 0 V

Y es necesario ver si los elementos presentan alguna carga:

· V_C2p = v_p = 0 V
· I_L2p = I_eq1 = 0.4 A

· Régimen Transitorio:

Realizamos el análisis en el nodo A mediante LCK:

· [Ec1] i_C2 + i_L2 + i_Req2 = I_eq1

Donde:

· i_C2 = C₂Dv_n
· i_Req2 = v_n/R_eq2
· i_L2 = (1/L₂D)v_n

Sustituimos en [Ec1]:

· [Ec2] C₂Dv_n + (1/L₂D)v_n + V_n/R_eq2 = I_eq1

Multiplicamos por el operador D y dividimos por C₂:

· D²v_n + Dv_n·(R_eq2·C₂) + (1/(L₂·C₂))·v_n = 0

Ya tenemos nuestra ecuación diferencial homogénea de 2º Orden, que sabemos que debe ser del tipo:

· s² + 2α·s + w²₀ = 0

Y en este caso, los parámetros α y w₀son:

· Factor de amortiguamiento ≡ α = 1/(2R_eq2·C₂) = 1/(2·5/6·1) = 0.6 s^-1
· Frecuencia natural ≡ w₀ = √[ (1/L₂·C₂)] = √[ (1/1·0.25)] = √4 = 2 rad/s

Y teniendo el valor de estos dos parámetros, podemos determinar cual es el comportamiento de nuestro circuito. En nuestro caso:

· α < w₀

Al ser la frecuencia natural mayor que el factor de amortiguamiento, el comportamiento de nuestro circuito es: Respuesta Subamortiguada, cuya solución a la respuesta homogénea es:

· v_n(t) = e^-α·t·[k₁·cos(w_d·t) + k₂·sin(w_d·t)]

Dónde:

· Frecuencia natural amortiguada ≡ w_d = (w²₀ - α²)^1/2= (2² - 0.6²)^1/2≈ 1.907878 rad/s

Por lo tanto, la solución completa es, la compuesta por la respuesta permanente más la respuesta transitoria:

· v(t) = v_p + v_n = 0 + e^-0.6·t·[k₁·cos(1.907878·t) + k₂·sin(1.907878·t)]

Ya tenemos la estructura de cómo será la evolución de la tensión al cerrarse el interruptor de nuestro circuito. Nos falta obtener los valores de los parámetros.

Para ello, vamos a aplicar las condiciones iniciales de los componentes que forman nuestro circuito.

· Inductor:

Este apartado lo podemos resolver de diferentes formas, al estar los elementos en paralelo, todos comparten la misma tensión (que hemos obtenido su estructura), por lo tanto, por la propia definición de la intensidad del inductor:

· i_L = (1/LD)v(t)

Tendríamos que realizar la integral (que no es difícil, más bien algo tediosa). Pero en nuestro caso, vamos a emplear el método más fácil, y para ello, volvemos a analizar entorno al nodo A, la intensidad del inductor:

· i_C2 + i_L2 + i_Req2 = I_eq1

Despejamos:

· [Ec3] i_L2 = I_eq1- i_C2 - i_Req2

Donde:

· i_C2 = C₂Dv(t)
· i_Req2 = v(t)/R_eq2

Sustituimos en [Ec3]:

· [Ec4] i_L2 = I_eq1- C₂Dv(t) - v(t)/R_eq2

Obtenemos la primera derivada de la tensión v(t):

· Di(t) = - 0.6e^-0.6·t·[k₁·cos(1.907878·t) + k₂·sin(1.907878·t)] + e^-0.6·t·[- 1.907878k₁·sin(1.907878·t) + 1.907878·k₂·cos(1.907878·t)]

Y teniendo en cuenta la condición del inductor:

· i_L2(t^-) = i_L2(t⁺)

En el instante t = 0:

· i_L2(0) = 0 A
· v(0) = k₁
· Dv(0) = - 0.6k₁ + 1.907878k₂

El inductor L₂ está totalmente descargado, por lo tanto, en el instante t = 0, sustituimos en [Ec4]:

· 0 = I_eq1 - C₂·[- 0.6k₁ + 1.907878k₂] - k₁/R_eq2

Reordenamos para tener la primera ecuación con dos incógnitas:

· [ExpI] (1/R_eq2 + 0.6C₂)·k₁ + 1.907878·C₂·k₂= I_eq1

Pasamos a evaluar las condiciones iniciales del condensador para obtener la segunda expresión necesaria.

· Condensador:

Este caso es más sencillo, el condensador debe cumplir:

· V_C2(t^-) = V_C2(t⁺)

En el instante t = 0:

· V_C2(0^-) = 0 V
· Dv(0) = k₁

Por lo tanto:

· [ExpII] k₁ = 0

Ya tenemos las dos ecuaciones con dos incógnitas:

· [ExpI] (1/R_eq2 + 0.6C₂)·k₁ + 1.907878·C₂·k₂= I_eq1
· [ExpII] k₁ = 0

Resolvemos, ya sea mediante Gauss o cambiando la variable de una ecuación a otra, y obtenemos los siguiente valores para los parámetros requeridos:

· k₁ = 0
· k₂ ≈ 0.209657

Ya hemos obtenido ambos parámetros, por lo que, una expresión para la tensión del condensador (y la que nos piden obtener en el problema) es:

· v(t) = e^-0.6·t·[0.209657·sin(1.907878·t)], t ≥ 0

Por lo tanto, en modo resumen, una expresión para la evolución de la corriente, dadas las condiciones que nos expone el enunciado del problema, es: