Enunciado. Una persona se encuentra en la azotea de un edificio. Lanza una pelota de tenis hacia arriba de forma vertical. La pelota abandona la mano de dicha persona con una velocidad ascendente de 15 m/s. quedándose la pelota en caída libre. Calcule:
a) La posición y la velocidad de la pelota en el instante t = 1s y t = 4s después de soltar la pelota de tenis.
b) La velocidad cuando la pelota está 5 m por encima de la barandilla.
c) La altura máxima alcanzada por la pelota de tenis y el instante cuando alcanza dicha altura máxima.
d) La aceleración de la pelota de tenis en su altura máxima.
Este problema, el dato que nos da es que la pelota de tenis se mueve de forma vertical y con movimiento de caída libre. Al no ofrecernos datos sobre fuerzas externas que influyan en el movimiento de la pelota, deducimos que es un movimiento idealizado de caída libre.
Las ecuaciones por tanto, para resolver este problema son las siguientes:
Lo primero que tenemos que hacer para la resolución del problema, es indicar nuestro eje de referencia, en este caso, la pelota se mueve en la vertical por lo que es un movimiento unidireccional, es decir sólo se mueve por el eje “Y”.
Dicho eje “Y” se puede tomar hacia arriba o hacia abajo, en este caso yo lo he considerado hacia arriba, tal como se muestra en la Figura 1.
Bien, el problema nos indica que en la posición de reposo, cuando la pelota abandona la mano de la susodicha persona que está en la azotea, se dirige de forma ascendente con una velocidad de 15 m/s. Esta velocidad será la velocidad inicial del objeto, v0 = 15m/s.
Con estas consideraciones previas y las ecuaciones ya mostradas, resolvemos nuestro problema en los instantes de tiempo que nos pide:
Apartado a)
En el instante t = 1 s:
En el instante t = 4 s:
Observamos que en el instante t = 1s, tanto la posición como la velocidad de la pelota son positivas, esto quiere decir que tanto la posición como la velocidad del objeto, en este caso la pelota, están en dirección del eje de referencia “Y” que tomé al inicio del problema, por lo tanto, la pelota está subiendo.
En el intervalo t = 4s, la cosa cambia, tanto la posición como la velocidad son negativas, esto es así, porque van en sentido contrario al eje de referencia “Y” que yo marqué al inicio del problema. Dicho resultado se interpreta como que la pelota de tenis está bajando.
Lo anterior se puede ver resumido en la Figura 2.
Apartado b)
En este apartado nos piden la velocidad de la pelota de tenis cuando esté 5m por encima de la barandilla del edificio, quiere decir que la pelota está arriba por lo tanto en el sentido del eje “Y” de referencia.
Para ello, nos basamos en la siguiente fórmula:
En la anterior fórmula, se puede obtener cualquier posición dada su velocidad inicial, su posición inicial y un instante de tiempo determinado.
En este apartado, se nos da la posición de la pelota de tenis que queremos saber su velocidad en dicha posición, 5m. Por lo tanto, lo primero que tenemos que hacer, es hallar el instante de tiempo donde se produce dicha posición.
Reordeno la ecuación anterior, obteniendo:
Se puede observar que es una ecuación de segundo orden, resolviendo obtenemos el valor de t:
t1 ≈ 2.68s
t2 ≈ 0.38s
Al ser una ecuación de segundo orden, obtenemos dos resultados.
En este momento, ¿Qué resultado escoger? ¿Por qué nos salen dos soluciones?
Las respuestas a dichas preguntas son fáciles, al ser un movimiento unidireccional, es decir sólo se mueve la pelota de tenis en el eje “Y”, la pelota, se moverá en un instante t hacia arriba y llegará a la posición de 5m, y seguirá subiendo hasta una posición máxima que denotaremos por ymáx, una vez alcance dicha posición máxima, la pelota de tenis descenderá atraída por la fuerza gravitatoria “g” de la Tierra, por lo tanto a la posición de 5m volverá a pasar. Una vez subiendo y otra vez bajando, de ahí las dos soluciones de instantes de tiempo que nos salen.
Pues bien, una vez obtenidos el instante de tiempo para que la pelota de tenis llegue a la posición de 5m, utilizo la fórmula de la velocidad para resolver el problema.
En el instante t = 2.68 s:
En el instante t = 0.38 s:
Se observa que lo expuesto anteriormente tiene sentido con este resultado, en la posición de 5m, en un instante de tiempo la velocidad es positiva, quiere decir que la pelota de tenis está subiendo, y en el otro instante de tiempo, la velocidad de la pelota es negativa, por lo tanto la pelota está en sentido contrario al eje de referencia marcado, y está bajando.
Apartado c)
En este apartado nos piden el instante y la posición cuando la pelota alcance su altura máxima.
En dicho instante, ymáx, la velocidad de la pelota será cero, por lo tanto de la ecuación de la velocidad puedo saber el instante de tiempo cuando se alcanza dicha altura máxima.
Despejo t de la ecuación anterior obteniendo:
t ≈ 1.53 s
En ese instante, es cuando la pelota alcanza su altura máxima, para hallar su posición, sustituyo valores en la fórmula de la posición:
En el instante t = 1.53 s:
Por lo tanto, en esa posición es donde la pelota de tenis alcanza su altura máxima, ymáx.
Apartado d)
La aceleración de la pelota de tenis en su altura máxima, será igual a la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el objeto, es decir, a = g = -9.8 m/s2.
Si la aceleración fuera cero en ese punto, la pelota de tenis quedaría suspendida en ese punto de forma indefinida.
No hay que olvidar, que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad.
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