Problema 3. Movimiento Parabólico.

Problema 3. Un orangután se escabulle del zoológico. El cuidador lo encuentra subido a un árbol de la ciudad. Como no logra atraerlo, el cuidador apunta su rifle sedante directamente al orangután y dispara. El orangután, al escuchar el disparo, se suelta en ese mismo instante de la rama que estaba colgado. Demuestre que el dardo sedante siempre impacta en el orangután independientemente de la velocidad del dardo sedante de inicio, siempre y cuando, el mono no haya llegado al suelo.

Este es un problema interesante, no es numérico y mezcla dos conceptos de movimiento.

Antes que nada, observamos que en los datos del problema no nos hablan de que actúa ninguna fuerza exterior, por lo tanto, consideramos todo movimiento de forma ideal.

El disparo que realiza el cuidador contra el orangután, describirá un movimiento parabólico, y en ese instante del disparo, el orangután se deja caer de la rama que estaba colgado, por lo tanto, el orangután se moverá en una sola dimensión describiendo un movimiento de caída libre.

En resumen:

Proyectil sedante: Movimiento parabólico.
Orangután: Movimiento de caída libre.

Para empezar a resolver el problema, es importante fijar los ejes de referencia, tanto para el cuidador como para el orangután.

Figura 1.

Escribimos las ecuaciones para el proyectil sedante y para el orangután.

Proyectil sedante: Movimiento parabólico.

- Eje X: Movimiento rectilíneo uniforme.

Donde .

- Eje Y: Movimiento uniformemente acelerado.





Donde .

El orangután y el proyectil impactarán en una distancia x (t) = d. Esto significa que en un instante de tiempo t, el proyectil impacta al orangután.

Por lo tanto, debemos saber en que instante de tiempo t, impactará el proyectil al orangután, para ello, nos basamos en la ecuación de posición del eje “X”:



Sustituimos valores:



Se despeja el parámetro t:

Hasta aquí, hemos conseguido saber que en el instante t calculado, el proyectil contactará al orangután.

Una vez obtenido el instante del impacto, necesitamos demostrar que en una altura determinada el orangután y el proyectil tienen el mismo valor, eso querrá decir que el impacto se produce.

Para ello, escribimos las ecuaciones del orangután:

Orangután: Movimiento de caída libre.

- Eje Y: Movimiento uniformemente acelerado.

En este caso del orangután, debemos saber a qué distancia se encuentra la rama donde está colgado del suelo.

Figura 2.

Como se muestra en la Figura 2, el proyectil sedante describe un triángulo rectángulo con ángulo α.

Por lo tanto, por trigonometría, se puede calcular fácilmente cuanto vale el cateto opuesto:

Cateto opuesto = d·tanα

Y el cateto opuesto, es la distancia del suelo a donde está colgado el orangután, por lo tanto, la distancia inicial del orangután será el cateto opuesto del triángulo rectángulo.

y (0) = d·tanα

Ya tenemos todos los datos que necesitamos, sustituimos valores en la ecuación de la posición del orangután obteniendo:

Una vez llegado a este punto, es necesario recapitular lo que hemos realizado hasta ahora, en primer lugar, se ha escrito la ecuación de la posición en el eje “Y” del proyectil sedante:

Después, se ha calculado el instante donde el proyectil sedante impacta en el orangután:

Y por último, se ha calculado la posición del orangután en cualquier instante de tiempo:

El problema nos pedía que demostrásemos, que independientemente de la velocidad inicial del proyectil sedante, la bala siempre impactaba en el orangután.

Esto es igual a decir, que en el instante de tiempo, t, que hemos calculado, impactará el proyectil en el orangután, por lo tanto, sus ecuaciones de posición en el eje “Y” deben ser iguales. Ya que tanto el proyectil sedante como el orangután deben estar en la misma posición para lograrse el impacto.

Por lo tanto, igualamos las ecuaciones de posición en el eje “Y” del proyectil sedante y la del orangután.



Operamos en la ecuación:



Sustituimos el valor de t por el calculado anteriormente:

Obteniendo:

Operamos en la anterior relación:

Se puede observar, que el parámetro de la velocidad no influye para nada en el impacto del proyectil sedado al orangután.

E indistintamente del valor de su velocidad inicial, el proyectil siempre impactará en el orangután.

Aquí se demuestra, que si en un instante de tiempo del eje “X” tanto el orangután como el proyectil sedado son iguales, en su coordenada del eje “Y” también lo serán.