Ej1. Sea X la variable aleatoria “nº de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces”.
Obtén la función de distribución de X.
El espacio muestral del experimento de lanzar la moneda tres veces es el siguiente:
Ω = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}
Donde:
C: Cara.
X: Cruz.
El espacio muestral contiene 8 elementos, la probabilidad de salir cualquiera de ellos es la misma, por lo tanto de 1/8.
La variable aleatoria definida por el enunciado, X, “nº de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces”, hallamos su función de probabilidad:
No obtener ninguna cara, X = 0: Sólo existe una posibilidad entre todos los elementos del espacio muestral de al lanzar la moneda tres veces, no obtener cara ninguna vez. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 0) = 1/8
Obtener una cara, X = 1: Existen tres posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral de al lanzar la moneda tres veces, obtener una cara. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 1) = 3/8
Obtener dos caras, X = 2: Existen tres posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral de al lanzar la moneda tres veces, obtener dos cara. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 2) = 3/8
Obtener tres caras, X = 3: Sólo existe una posibilidad entre todos los elementos del espacio muestral de al lanzar la moneda tres veces, obtener tres caras. Por lo tanto, su probabilidad es:
P(X = 3) = 1/8
Una vez obtenida la función de probabilidades para cada caso, pasamos a resolver el problema hallando su función de distribución (o función de probabilidad acumulada):
No obtener ninguna cara, F(0) = P(X ≤ 0) = 1/8
Obtener una cara, F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/8 + 3/8 = 4/8
Obtener dos caras, F(2) = P(X ≤ 2) = F(1) + P(X = 2) = 4/8 + 3/8 = 7/8
Obtener tres caras, F(3) = P(X ≤ 3) = F(2) + P(X = 3) = 7/8 + 1/8 = 1
2 comentarios:
La función de distribución resultante ¿no debería estar a la inversa?, no sé si habré entendido bien, pero sería entonces más probable obtener 3 caras que obtener menos.. Espero su respuesta!
Buenas Antonio:
La probabilidad de obtener 3 caras es de 1/8 tal como se indica en el desarrollo del ejercicio.
La función que se da al final, es la función de distribución (función de probabilidad acumulada), es cierto que puede llevar a engaño o malentendido el texto: Obtener xx caras, pero se ha realizado de esa manera para que corresponda con los casos obtenidos en la función de probabilidad.
Dicha función, la función de distribución, describe todos los eventos posibles, es por ello que al final, Obtener tres caras, el resultado sea F(3) = 1, ya que es el área que describe toda la función (no la probabilidad de que sea tres caras, sino todos los casos posibles - las tres tiradas de la moneda -).
Un saludo.
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