sábado, 24 de mayo de 2008

Variables Aleatorias Discretas y Distribuciones de Probabilidad.

Definiciones Importantes:


Variable Aleatoria: Es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio.


Es importante distinguir entre variable aleatoria y los posibles valores que ésta puede tomar, se empleará letras mayúsculas, tales como X, para designar la variable aleatoria y correspondiente minúscula, x, para designar un valor posible.


Una variable aleatoria es discreta si sólo puede tomar una cantidad numerable de valores, en cambio, una variable aleatoria es continua si puede tomar todos los valores de un intervalo, este tipo de variables, no se les puede asignar probabilidades a cada valor concreto.


Función de Probabilidad: Denominada como Px(x), de una variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de que X tome el valor x, como función de x. Es decir:


Px(x) = P(X = x)


Donde la función se evalúa en todos los posibles valores de x.


Sus propiedades se definen como: Sea X una una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Px(x). Entonces:


  1. Px(x) ≥ 0, para cada valor x.


  1. Las probabilidades individuales suman 1, es decir:



ΣPx(x) = 1

Donde la notación indica la suma sobre todos los posibles valores de x.


Función de Probabilidad Acumulada: Denominada como Fx(x0), de una variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de que X no tome un valor superior a x0, como función de x0. Es decir:


Fx(x0) = P(X x0)


Donde la función se evalúa en todos los posibles valores de x0.


Sus propiedades se definen como: Sea X una una variable aleatoria discreta con función de probabilidad acumulada Fx(x0). Entonces:


  1. 0 ≤ Fx(x0) ≤ 0, para cada valor x0.


  1. Si x0 y x1 son dos números tales que x0.x1, entonces:


Fx(x0) ≤ Fx(x1)


Relación entre Función de Probabilidad y Función de Probabilidad Acumulada: Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Px(x) y función de probabilidad acumulada Fx(x0). Entonces:


F(x) = ΣPx(x) = 1

Donde la notación indica que la suma es sobre todos los posibles valores de x que son menores o iguales que x0.


Valor Esperado.


Denominado como E(X), de una variable aleatoria X se define como:


E(X) = Σx·Px(x)


Donde la notación indica que la suma es sobre todos los posibles valores de x.


El valor esperado de una variable aleatoria se conoce como su media y se representa μx.


Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Px(x), y sea g(X) una función de X. Entonces, el valor esperado, E(g(X)), de esta función se define como:


E[g(X)] = Σg(x)·Px(x)


Varianza.


Sea X una variable aleatoria discreta. Se denomina la varianza, σx, y se obtiene como:




Otra forma alternativa de expresar la varianza es de la siguiente manera:




La desviación típica, σx, es la raíz cuadrada positiva de la varianza.


Función de Probabilidad Conjunta.


Sean X e Y dos variables aleatorias discretas. La función de probabilidad conjunta representa la probabilidad de que simultáneamente X tome el valor x e Y tome el valor y, como función de x e y. Se usa la notación PX,Y(x, y), de donde:


PX,Y(x, y) = P(X = x ∩ Y = y)

Propiedades:


  1. PX,Y(x, y) ≥ 0, para cualquier par de valores x e y.


  1. La suma de las probabilidades conjuntas PX,Y(x, y) sobre todos los posibles pares de valores debe ser 1.


Función de Probabilidad Marginal.


Sean X e Y dos variables conjuntamente distribuidas. En este contexto, la función de probabilidad de la variable aleatoria X se denomina función de probabilidad marginal, y se obtiene sumando las probabilidades conjuntas sobre todos los posibles valores de Y, es decir:


PX(x) = ΣPX,Y(x, y)


Análogamente, la función de probabilidad marginal de la variable aleatoria Y es:


PY(y) = ΣPX,Y(x, y)


Función de Probabilidad Condicional.


Sean X e Y dos variables conjuntamente distribuidas. La función de probabilidad condicional de la variable aleatoria Y, dado que la variable aleatoria X toma el valor x, representa la probabilidad de que Y tome el valor y, cuando se especifica el valor x para X.


Esta función, se representa como PY|X(y|x), y por la condición de probabilidad condicional:



Variables Aleatorias Independientes.


Las variables aleatorias X e Y son independientes si y sólo si su función de probabilidad conjunta es el producto de sus funciones de probabilidad marginal, es decir, si y sólo si:


Px, y(x, y) = Px(x)·Py(y)


Para todos los posibles valores x e y.


Función de Probabilidad Conjunta Acumulada.


Se denomina como FX,Y(x0, y0), de un par de variables aleatorias discretas X e Y representa la probabilidad de que simultáneamente X no exceda del valor x0 e Y no supere el valor y0, como función de x0 e y0. Es decir:


FX,Y(x0, y0) = P(X ≤ x0 ∩ Y ≤ y0)


Donde la función se evalúa en todos los valores de x0 e y0. Esto puede escribirse:



Donde la notación indica que la suma es sobre todos los pares de valores x e y que las variables aleatorias pueden tomar simultáneamente, y que satisfacen x x0 e y ≤ y0.


Esperanza con Función de Probabilidad Conjunta.


Sean X e Y dos variables discretas aleatorias con función de probabilidad conjunta Px, y(x, y). La esperanza de una función g(X, Y) de estas variables aleatorias se define como:



Covarianza.


Sean X una variable aleatoria con media μX, y sea Y una variable aleatoria con media μY. La covarianza es:





Una expresión alternativa es:





Hay que tener en cuenta que, si un par de variables aleatorias son estadísticamente independientes, la covarianza entre ellas es igual a cero. Sin embargo, que la covarianza valga cero, no implica, a priori, que el par de variables sea independientes.


Distribución Binomial.


Supongamos que un experimento aleatorio tiene sólo dos resultados posibles mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos, “éxito” y “fracaso”, y que p es la probabilidad de obtener éxito en cada repetición.


Si se realizan n repeticiones independientes, la distribución del número de éxitos, X, resultante se denomina distribución binomial. Su función de probabilidad es:





para x = 0, 1, 2, ..., n.


Media de la distribución binomail: μx = E(X) =n·p


Varianza de la distribución binomial: σx2 = E[(X - μx)2 = n·p·(1 - p)


Distribución Geométrica.


Es una serie de ensayos de Bernoulli independientes, con probabilidad constante p de un éxito, sea que la variable aleatoria X denote el número de ensayos hasta el primer éxito.


Entonces X tiene una distribución geométrica con parámetro p.


P(X = x) = p·(1 - p)x-1


Donde x = 1, 2, 3, ...


Su media: μx = E(X) = 1/p


Su varianza: σx2 = V(X) = (1 - p)/p2


Distribución Binomial Negativa.


Surge de un contexto semejante al que conduce a la distribución geométrica. La distribución que asigna a la variable Y, el número de ensayo en el que ocurre el r-ésimo éxito.


Su función de probabilidad es:


para y = r, r + 1, r + 2, ....


Media de la distribución binomail negativa: μx = E(X) =r/p


Varianza de la distribución binomial negativa: σx2 = E[(X - μx)2 = r·(1 - p)/p2


Distribución Hipergeométrica.


Supongamos que se elige una muestra aleatoria de tamaño n de un conjunto de N elementos, S de los cuales son éxitos.


La distribución del número de éxitos, X, en la muestra se denomina distribución hipergeométrica. Su función de probabilidad es:




donde x puede tomar valores enteros entre el máximo de 0 y [n – (N – S)] y el mínimo de n y S.


Su media: μx = E(X) =n·p


Su varianza:



Si el tamaño muestral n es muy pequeño en relación al número total de elementos, N, las probabilidades hipergeométricas son muy parecidas a las binomiales, y se puede usar la distribución binomial en vez de la hipergeométrica.


Distribución De Poisson.


Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson si tiene la función de probabilidad:




para x = 0, 1, 2, ...


Donde λ es cualquier número tal que λ > 0.


La media: μx = E(X) = λ


La varianza: σx2 = E[(X - μx)2 = λ


Aproximación a Poisson de la Distribución Binomial.


Sea X el número de éxitos resultantes de n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p.


La distribución del número de éxitos X es binomial con media n·p. Sin embargo, si el número de ensayos n es grande y n·p tiene un tamaño moderado (preferiblemente n·p 7), esta distribución puede aproximarse bien por la distribución de Poisson de media λ = n·p.


La función de distribución aproximada es:





Para x = 0, 1, 2, ...



A continuación, se disponen de una colección de problemas resueltos.

Problemas: Variables Aleatorias Discretas.
Problema 1
Problema 11Problema 21
Problema 31
Problema 41
Problema 51
Problema 61
Problema 71
Problema 81
Problema 2
Problema 12Problema 22
Problema 32
Problema 42
Problema 52
Problema 62
Problema 72
Problema 82
Problema 3
Problema 13Problema 23
Problema 33
Problema 43
Problema 53
Problema 63
Problema 73
Problema 83
Problema 4
Problema 14Problema 24
Problema 34
Problema 44
Problema 54
Problema 64
Problema 74
Problema 84
Problema 5
Problema 15Problema 25
Problema 35
Problema 45
Problema 55
Problema 65
Problema 75
Problema 85
Problema 6Problema 16Problema 26
Problema 36
Problema 46
Problema 56
Problema 66
Problema 76
Problema 86
Problema 7Problema 17Problema 27
Problema 37
Problema 47
Problema 57
Problema 67
Problema 77
Problema 87
Problema 8Problema 18Problema 28
Problema 38
Problema 48
Problema 58
Problema 68
Problema 78
Problema 88
Problema 9Problema 19
Problema 29
Problema 39
Problema 49
Problema 59
Problema 69
Problema 79
Problema 89
Problema 10Problema 20
Problema 30
Problema 40
Problema 50
Problema 60
Problema 70
Problema 80
Problema 90

35 comentarios:

Anónimo dijo...

Excelente desglose de probabilidad... felicitaciones por su informacion

Manuel Caballero dijo...

Muchísimas gracias por su atención.

Anónimo dijo...

Que tal soy yo otra vez, espero que se encuentre bien, que cree que me fue perfectamente bien en mi examen, tuve un poco de poblemas con mi materia y solo estudiando con sus apuntes y ejercicios la estoy levantando, queria pedirle de favor si me podria proporcionar apuntes y ejercicios como los anteriores pero ahora de distribucion uniforme... con integrales, espero que no sea mucho pedir. gracias

Anónimo dijo...

Estos temas son de variable aleatoria continua, y basicamente todo es con integraleS... ah y recomendarme una buena bibliografia

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

Me alegro que le haya servido de ayuda lo expuesto en este blog.

El apartado de Estadística, como otros de este blog, está incompleto.

La fecha prevista para publicar y así completar concretamente el ítem de Estadísticas es a mediados de Febrero.

Por ello, no pedo facilitarle el material de Distribución Uniforme.

Bibliografía hay bastante, el que creo que se ajusta bastante bien tanto en teoría como en problemas es el:

Montgomery-Runger. "Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería". McGraw-Hill.

Pero como ya he dicho, hay bastante.

Gracias por todo y disculpa las molestias.

Anónimo dijo...

GRACIAS

Anónimo dijo...

un cuate me dio esta pagina pero no encuentro los temas de variable continua...

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

El capítulo de Distribución Uniforme no esta listo todavía, como mencioné más arriba, el apartado de Estadísticas está en fase BETA y se completará a partir de Febrero.

Siento las molestias y gracias a su amigo por facilitarle la dirección de este blog.

Anónimo dijo...

Disculpe las molestias creo que ni novio ya le dio la pagina a sus cuates, solo es que les comente que habia estudiado de aqui... cree que por "otro medio " pueda proporcionarnos esa informacion en lo que la sube...lo que pasa que la bibliografia que me dio la encuentro y encontre otros pero ninguno como la informacion que esta en su blogg... por favor mi examen es el lunes 1 de dic, ojala sea posible

Manuel Caballero dijo...

Me encantaría poder ayudarte pero no va a ser posible, los restantes temas del apartado Estadística ni siquiera están redactados, es por ello que no puedo facilitárselos.

Aún así, si te das cuenta, la parte teórica de los capítulos es muy breve, tanto que casi solamente aparecen las expresiones matemáticas.

Todo esto lo puedes encontrar en la bibliografía que recomendé con algunos ejemplos de aplicación.

A partir de Febrero, es cuando tengo tiempo, y confeccionaré los temas y los problemas para completar este apartado.

Mucha suerte en tu examen y gracias a tu novio por promulgar este blog.

Anónimo dijo...

gracias

rogelio dijo...

excelente, es demasiado completo, mas que lo que el profesor ha dado, muy buen material

Manuel Caballero dijo...

Buenas rogelio:

Gracias por tu comentario y espero que ye haya servido el contenido que en este blog exponemos.

Un saludo.

Anónimo dijo...

Bueno,felicidades por el blog!es excelente!ayudara a muchas personas con la estadistica pero...no faltaría la distribucion de bernouilli y la uniforme por aqui para completar los apuntes?
Un saludo.

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

Bueno, podría ser, pero normalmente se utiliza más la distribución binomial (es una particularidad de la distribución de Bernoulli) y con respecto a la Uniforme, está en el apartado de Distribuciones Continuas.

En caso de que te refieras a la Uniforme discreta, decirte que yo, personalmente, no me la he encontrado con frecuencia.

Es por eso que no están reflejadas.

Un saludo y gracias por tu comentario.

Anónimo dijo...

buenas
le felicito por esa pagina ya que me esta ayudando a entender la asignatura, le queria pedir si me puede ayudar a resolver ese problema que no lo consigo
gracias
Pb
La experiencia demuestra que los remaches en los soportes de puentes pueden a°ojarse peligrosa-
mente con el paso del tiempo. Sea X la variable aleatoria que representa el n¶umero de remaches
°ojos identi¯cados por cada 10 pies de vigas en los puentes de mas de 20 a~nos de antigÄuedad.
Sabemos que la funcion de distribucion de probabilidad de X esta dada por:
F(x)
-infinito < x < 0 0, 00
0 < x < 1 0, 05
1 <x < 2 0, 15
2< x < 3 0, 35
3 < x < 4 0, 65
4 < x < 5 0, 85
5 < x < 6 0, 95
6 < x < infinito 1, 00


i) Calcule la funcion de probabilidad de X.
ii) Calcule E(X) y Var(X).

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

Al ver la función acumulada de probabilidad se puede deducir que estamos ante una variable aleatoria discreta (ya que X no es una variable continua).

Te aconsejo que te mires los problemas 2, 3 y 4 que te explican cómo trabajar con este tipo de problemas, aún así, te pongo la solución.

Apartado a) Vamos a obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria discreta dada.

· F(0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0) = 0
· F(1) = P(X ≤ 1) = F(0) + P(X = 1) = 0.05
Despejamos: P(X = 1) = 0.05

· F(2) = P(X ≤ 2) = F(1) + P(X = 2) = 0.15
Despejamos: P(X = 2) = 0.1

· F(3) = P(X ≤ 3) = F(2) + P(X = 3) = 0.35
Despejamos: P(X = 3) = 0.2

· F(4) = P(X ≤ 4) = F(3) + P(X = 4) = 0.65
Despejamos: P(X = 4) = 0.3

· F(5) = P(X ≤ 5) = F(4) + P(X = 5) = 0.85
Despejamos: P(X = 5) = 0.2

· F(6) = P(X ≤ 6) = F(5) + P(X = 6) = 0.95
Despejamos: P(X = 6) = 0.1

· F(7) = P(X ≤ 7) = F(6) + P(X = 7) = 1
Despejamos: P(X = 7) = 0.05

Por lo tanto, la función de probabilidad de la variable aleatoria dada es:

· P(X = 0) = 0
· P(X = 1) = 0.05
· P(X = 2) = 0.1
· P(X = 3) = 0.2
· P(X = 4) = 0.3
· P(X = 5) = 0.2
· P(X = 6) = 0.1
· P(X = 7) = 0.05

Para que sea una función de probabilidad discreta, se debe cumplir dos premisas:

1. Px(X) > 0. OK
2. ΣPx(x) = 0+0.05+0.1+0.2+0.3+0.2+0.1+0.05 =1. OK

Apartado b) Para obtener la Esperanza y la varianza empleamos las expresiones matemáticas correspondientes:

· Esperanza:

· E(X) = 0·0 + 1·0.05 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.3 + 5·0.2 + 6·0.1 + 7·0.05 = 4

· Varianza:

· σ²(X) = [0²·0 + 1²·0.05 + 2²·0.1 + 3²·0.2 + 4²·0.3 + 5²·0.2 + 6²·0.1 + 7²·0.05] - 4² = 2.1

· PD: Te he borrado el mensaje en el problema 1 por ser igual a este.

Un saludo y gracias por tu comentario.

Anónimo dijo...

Hola Manuel,

estoy buscando ejercicios resueltos de Probabilidad conjunta, tendrás algunos?

Muchas Gracias por el material publicado es excelente.

Saludos!

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

Si te refieres a distribuciones aleatorias de dos variables no están implementadas en el blog.

Un saludo y gracias por tu comentario.

Anónimo dijo...

Muy completo tu blog, te felicito,mis compañeros de clase me lo recomendaron ,con los ejemplos que presentas he podido resolver muchas de mis tareas,revise los ejercicios de la distribucion de Poisson,me sirvieron de guia para resolver mis ejercicios sobre ese tema,sin embargo uno de los ejercicios no he logrado resolverlo,te comento el ejercicio, para ver si puedes ayudarme a resolverlo:El número de partículas emitidas por segundo y gramo por una determinada sustancia radioactiva sigue una distribución de Poisson de parámetro l. La instalación de una industria que usa cierta masa de dicha sustancia radioactiva será autorizada si es l<5. Determinar si la instalación será autorizada y el parámetro dado que se extrajo una muestra aleatoria de 20 gramos de sustancia y emitió en un segundo una media de 5.9 partículas por gramo. Supóngase un a = 0,01. Se debe autorizar o rechazar?

Muchas gracias por tu ayuda, y gracias por tus aportes para nosotros los estudiantes.

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

¿Qué es a?

Un saludo.

Anónimo dijo...

Hola Manuel:creo que cometi un error de dedo al plantear el problema, disculpame,te planteo el problema de nuevo:El número de partículas emitidas por segundo y gramo por una determinada sustancia radioactiva sigue una distribución de Poisson de parámetro λ. La instalación de una industria que usa cierta masa de dicha sustancia radioactiva será autorizada si es λ<5. Determinar si la instalación será autorizada y el parámetro dado que se extrajo una muestra aleatoria de 20 gramos de sustancia y emitió en un segundo una media de 5.9 partículas por gramo. Supóngase una α=0,01. Se debe autorizar o rechazar la instalacion?
α=coeficiente de significancia.

Gracias por tu ayuda.

Anónimo dijo...

Buenas Tardes:Me podrian indicar si tienen algun ejemplo similar al siguiente problema o ayudarme a resolverlo:
Sea Z una v. a. N(0,1). Entonces la P(Z < 0,504) ...
a. vale 0,01.
b. es mayor que 0,6.
c. vale 0,496.
d. Ninguna de las anteriores
Estoy confundido en como resolver este problema, talvez le es posible ayudarme.

Muchas gracias y felicitaciones por este maravilloso blog.

Leo

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

El problema que expones no es de variables aleatorias discretas sino de contrastes de hipótesis y en este caso, contraste de Poisson.

Si miras tus tablas, deberás encontrar una de cómo se trabaja con variables que siguen una distribución de Poisson.

En nuestro caso (y por eso no te lo resuelvo), el parámetro debería ser grande o la muestra aleatoria al menos, mayor que 30, y como verás, ninguna de las dos condiciones se cumplen en tu problema.

Por eso te recomiendo que mires tus tablas y en función a los criterios que se expongan, resolver el problema que por otra parte, no debería ser difícil habiendo identificado que tipo de contraste es.

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Buenas Leo:

El ejercicio que expones no es de variables aleatorias discretas sino de variables aleatorias continuas, en dicho apartado podrás encontrar multitud de ejemplos parecidos al que expones e incluso (como veo que no has empezado a estudiar), en el apartado de Tablas, encontrarás cómo se trabaja con la Distribución Normal.

Un saludo.

Anónimo dijo...

Buen Dia:
Felicidades por su blog, me gustaria hacer una pequeña consulta,ya que me encuentro confundido con un ejercicio.
Sea X una variable aleatoria que cuenta el numero de veces que sale el valor 6 al lanzar un dado 200 veces. Entonces la distribucion de X es:
a-Binomial
b-Bernoulli
c-Hipergeometrica
d-Ninguna de las anteriores
Revisando en mis apuntes me encuentro confundido entre decidir si es una distribucion normal donde tenemos la probabilidad de exito o fracaso y con la probabilidad de obtener exito en cada evento,mientras que en la distribucion de Poisson la usamos cuando una variable aleatoria binomial el número de ensayos n es muy grande (al menos 20) y la probabilidad de éxito p es muy pequeña, pero su uso como distribución se reduce básicamente al conteo de sucesos en el tiempo o en el espacio, pienso que el ejercicio planteado puede ser una distribucion binomial porque el numero de eventos es mayor a 20 eventos,son 200 eventos,pero me confunde el hecho de que esta distribucion solo se use para el conteo de sucesos en el tiempo o el espacio,si me pueden por favor ayudar aclarar mi duda. Gracias de antemano.
Erika Aguilera

Manuel Caballero dijo...

Buenas Erika:

Tal como está expuesta y definida la variable aleatoria, podría seguir una distribución geométrica (bernoulli), es decir, éxito o fracaso en un experimento determinado.

Un saludo y gracias por tu comentario.

Juan Pablo Quevedo dijo...

Buenas tardes,
me puedes orientar, por favor en este ejemplo, parece relativamente sencillo pero se me ha complicado un poco:

Un propietario de 5 cabañas de descanso piensa comprar aparatos de televisión para rentarlos a sus clientes. El estima que aproximadamente la mitad de sus clientes desearía rentar un aparato. Si se supone que las cabañas están siempre ocupadas y que se compran 3 aparatos de televisión, a) cuál es la probabilidad de que se tengan más peticiones que aparatos de televisión?, b) cuál es la probabilidad de que un cliente que pida un aparato de televisión lo reciba?, c) si el costo diario por aparato de televisión es C, cuál debe ser la renta mínima R que debe cobrarse para evitar pérdidas?

Anónimo dijo...

Buenas noches, tengo un problema con un ejercicio de variables aleatorias y distribucion normal, por favor a ver si me podeis ayudar:
La muestra hecha sobre 300 vecinos, nos indica que se han recogido de mediana unos 3KG de materia organica con una desviacion estandard de 22 KG, y 1 KG de rebuig con una desviación estandard de 4 KG. ¿ Cual seria la probabilidad de que los vecinos produzcan mas de 6 KG de organica y mas de 1,5 Kg de rebuig, si seguimos una muestra futura con las mismas caracteristicas, muchisimas gracias.

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

Es cierto que es un problema de una variable aleatoria continua (ya que dicha variable sigue una distribución Normal), pero en este caso, el estudio realizado está basado en una muestra, por lo que este problema se ajusta mejor al apartado de Estimación y Pruebas de Hipótesis (ya que tendremos que aplicar el Teorema Central de Límite).

El problema en sí es sencillo, simplemente tienes que tipificar los valores, te dejo un ejemplo donde se realiza la técnica:

· Problema 4 (enlace: http://unbarquero.blogspot.com.es/2009/05/problema4-estimacion-y-pruebas-de.html)

· PD: Creo que confundes términos, no es mediana sino que es media.

Un saludo.

Anónimo dijo...

Sr. Manuel Caballero.
por favor, necesito que me ayude con un ejercicio que me tomaron en el examen final!!
El Ejercicio es algo parecido al que usted tiene en la lista de ejercicio resuelto de variables aleatorias discretas Nº 75. que dice:
Ej75. El reporte anual es uno de los documentos más importantes producidos por las empresas de propiedad pública y su producción representa un gasto de importancia considerable.

Sin embargo, un estudio reciente revela que 40% de los accionistas dedican 5 minutos o menos a la lectura del reporte anual de su compañía. Suponga que se eligen al azar 100 accionistas de empresas de propiedad pública.
a) cual es la probabilidad de que 2 accionistas le dediquen 2 minutos.
b) Cual es la probabilidad de 5 accionistas de dediquen mas de 2 minutos

Su bloog esta muy bueno. saludos.

carlos

Anónimo dijo...

Saludos .... podría ayudarme con el siguiente problema ??
Ana y beatriz lanzan dos dados y hacen la siguiente apuesta : si la suma de los dados es igual a : 5,6 o 7 , entonces Ana gana bs 10 . Si la suma es distinta de 7 , entonces lanzan de nuevo el dado y observan la nueva suma . Si la suma del segundo lanzamiento es igual a la del primero , entonces ana gana bs 10 . En caso contrario, Beatriz gana 100 bs . halle la ganancia esperada ...

Anónimo dijo...

buenas tarde soy Alfonso, me gustaría que me ayudase en este problema. En una empresa hay, por termino medio, dos microcortes de conexión telefónica por hora, y se sabe que estos siguen una distribución de Poisson. Se esta instalando un servidor de internet, que tardara en reiniciarse 3 horas .El sistema de reinicio es muy sensible a los cortes de conexion, dejando de funcionar cuando se produce el sexto microcorte,¿Que probabilidad hay de que el sistema se reinicie sin problemas? Muchas gracias y felicitarle por su blog.

Anónimo dijo...

Hola buenas tardes, soy Mari Loli, me gustaría que me ayudara a resolver este problema:

En el proceso de fabricación de vidrios para parabrisas de automóviles se producen rara vez burbujas que hacen el vidrio sea defectuoso y, por tanto, rechazado para su venta. Se ha observado que 1 de cada 1000 parabrisas producidos es defectuoso. Calcular:
a) la probabilidad de que en un lote de 8000 limpiaparabrisas haya menos de 4 defectuosos.
b)la probabilidad de que en un lote de 2000 limpiaparabrisas haya dos defectuosos
c)la probabilidad de que en un lote de 1000 limpiaparabrisas haya alguno defectuoso.

Muchas gracias y espero que me lo pueda resolver, ya que me confunde los parabrisas y los limpiaparabrisas, y no puedo continuar con el problema. Un saludo.

AqueronteBlog dijo...

Buenas:

@Alfonso: Encontrarás bastantes ejemplos de como resolver un problema de Poisson en este blog. El que propones, es un problema clásico.

@Mari Loli: Es un error de escritura, limpiaparabrisas quiere decir lo mismo que parabrisas.


Un saludo.

Anónimo dijo...

hola soy Alfonso de nuevo gracia por responderme lo intentare de nuevo y vere todos los del blog.un saludostonedyb wegmann