miércoles, 29 de julio de 2009

Problema18: VAD

Ej18. Cuando se prueban 25 tarjetas de circuito empleadas en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es del 5 %.

Determinar:

a) El número de tarjeta defectuosas sea como máximo, 2.

b) El número de tarjeta defectuosas sea, al menos, 5.

c) El número de tarjeta defectuosas esté comprendido entre 1 y 4 tarjetas (ambas incluidas).

d) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 25 tarjetas esté defectuosa?.

e) Calcule el valor esperado y desviación estándar de la variable aleatoria.


Realizamos una recopilación de datos del enunciado del problema:

· X ≡ 'Número de tarjetas defectuosas de circuitos empleadas en la manufactura de reproductores de CD'.
· Tamaño de la muestra: n = 25.
· La variable aleatoria X sigue una distribución Binomial: X ~ B(25, 0.05).

Pasamos a resolver los distintos apartados.


Apartado a)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Empleamos la expresión de la binomial:

P(X ≤ 2) = 25C0·0.050·(1-0.05)25-0 + 25C1·0.051·(1-0.05)25-1 + 25C2·0.052·(1-0.05)25-20.872894


Apartado b)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X ≥ 5) = 1 - P(X <.5) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)]

Empleamos la expresión de la binomial:

P(X ≥ 5) = 1 - [25C0·0.050·(1-0.05)25-0 + 25C1·0.051·(1-0.05)25-1 + 25C2·0.052·(1-0.05)25-2 + 25C3·0.053·(1-0.05)25-3 + 25C4·0.054·(1-0.05)25-4] ≈ 0.007165

La probabilidad de que ocurra, es baja.


Apartado c)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(1 ≤ X ≤ 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

Empleamos la expresión de la binomial:

P(1 ≤ X ≤ 4) = 25C1·0.051·(1-0.05)25-1 + 25C2·0.052·(1-0.05)25-2 + 25C3·0.053·(1-0.05)25-3 + 25C4·0.054·(1-0.05)25-40.715445


Apartado d)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X = 0)

Empleamos la expresión de la binomial:

P(X = 0) = 25C0·0.050·(1-0.05)25-00.277390


Apartado e)

En este apartado nos piden hallar el valor esperada y la desviación estándar, por definición de la distribución discreta binomial:

· Esperanza: E(X) = n·p
· Varianza: σx2 = n·p·q

Por lo tanto, sustituyendo valores obtenemos la solución a este último apartado:

· Esperanza: E(X) = n·p = 25·0.05 = 1.25
· Desviación estándar: σx = √(n·p·q) = √(25·0.05·(1-0.05)) ≈ 1.089725

7 comentarios:

Anónimo dijo...

¿Distribucion binomial?¿porque?o no entiendo este problema o la formula de las binomiales anteriores era distinta.

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

Es una clara distribución binomial porqué nos dan el número de elementos y la probabilidad del defecto.

Quizás lo que te ha despistado es la manera de expresarlo en la resolución de los ejercicios, que en vez de emplear el binomio de Newton desarrollado, sólo he empleado su notación nCr tal y cómo viene expresado en la mayoría de las calculadoras.

Así me es más fácil desarrollar los ejercicios y al no tener que crear imágenes con el binomio de Newton, la página carga algo más rápida.

Un saludo.

Anónimo dijo...

Buenas, muchas gracias y enhorabuena por esta web.
Mi cuestión es ¿se podría emplear poisson en vez de binomial? Ya que n>25, p<0.1 , np<5.
Saludos, Rafa

Manuel Caballero dijo...

Buenas Rafa:

La aproximación de la Binomial a la Poisson dentro de las variables aleatorias discretas viene condicionada por dos factores, que son los siguientes:

· n·p, tiene un tamaño moderado (preferiblemente n·p ≤ 7).

· n, debe ser grande.

En este caso concreto, cumple la primera condición (n·p = 1.25 ≤ 7), y respecto a la segunda condición del tamaño de la muestra pues depende, en este caso 25 muestras, quizás, no sea un número grande.

Todo depende del error que quieres asumir (o en caso de que estés estudiando para un examen, las cifras decimales que te exigen) al realizar la aproximación.

Un saludo.

Anónimo dijo...

Hola de nuevo, gracias por su pronta respuesta.
Si que estoy estudiando para un examen donde me piden que redondee a seis cifras decimales, ¿qué debería de hacer, aproximación o no? ¿Está claro que en el ejercicio de las 1000 botellas se debe aproximar no?
Un saludo.
Rafa

Manuel Caballero dijo...

Buenas Rafa:

Yo no lo aproximaría con un valor de 25, y te voy a responder obteniendo la aproximación.

Calculamos el parámetro de Poisson:

· λ = n·p = 25·0.05 = 1.25

Y ahora, vamos a calcular, por ejemplo, el Apartado a).

Lo voy a obtener mediante el software R:

>> ppois(c(2), 1.25)
[1] 0.8684677

Vamos a comprobar ambos resultados (sin aproximar y con la aproximación):

· Binomial (Sin Aproximar):

· P(X ≤ 2) ≈ 0.872894

· Poisson (Con la Aproximación):

· P(X ≤ 2) ≈ 0.868468


Como verás, los valores obtenidos son bastante parecidos pero en tu caso, donde te piden seis cifras significativas en el examen, tu resultado podría ser interpretado como no valido.

Mi recomendación es que utilices la aproximación de la Binomial a la Poisson con un número grande de muestras (80, 90, 100 datos más o menos).

Aún así, te recomiendo que hables con tus profesores y le comentes tu caso, quizás en el examen, si especificas de manera clara que estás realizando una aproximación ya que cumple con los criterios marcados para tal fin, te den la respuesta como valida.

Con respecto al ejercicio de las 1000 botellas, cumple una de las condiciones para la aproximación y es que el número de datos es grande, ahora falta que compruebes la otra condición: n·p, tiene un tamaño moderado (preferiblemente n·p ≤ 7).


Un saludo.

Anónimo dijo...

muchas gracias, me sirvio mucho ;)