Problema32: VAD

Ej32. En una regulación de calles por semáforos, la luz verde está encendida durante 15 segundos, la luz ámbar 5 segundos y la luz roja 55 segundos.

Supongamos que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de forma que “llegar cuando el semáforo está verde” es un suceso aleatorio.

Para cinco coches que lleguen en tiempos diferentes e indeterminados, determinar:

a) Sólo tres encuentren la luz verde.

b) A lo sumo, cuatro encuentren la luz verde.

c) Más de uno encuentre la luz verde.


Realizamos una recopilación de datos dados por el enunciado del problema:

· V ≡ 'Luz verde'.
· A ≡ 'Luz ámbar'.
· R ≡ 'Luz roja'.
· X ≡ 'Automóviles que llegan cuando el semáforo está en verde'.

· La luz verde está encendida 15 segundos.
· La luz ámbar está encendida 5 segundos.
· La luz roja está encendida 55 segundos.
· Total de tiempo de luces: 15+5+55 = 75 segundos.

· P(V) = 15/75.
· P(A) = 5/75.
· P(R) = 55/75.

· La variable X sigue una distribución binomial: X ~ B(5, 15/75) = B(5, 0.2)

Pasamos a resolver los distintos apartados del problema.


Apartado a)

El enunciado del problema nos pide obtener la probabilidad siguiente:

P(X = 3) = ₅C₃·0.2³·(1-0.2)^5-3 = 0.0512
Por lo tanto, la probabilidad de que sólo tres automóviles de entre cinco encuentren la luz verde es de 0.0512, una probabilidad baja.

Apartado b)

En este apartado, debemos obtener:

P(X ≤ 4) = 1 - P(X > 4) = 1 - P(X = 5) = 1 - ₅C₅·0.2⁵·(1-0.2)^5-5 = 0.99968
Por lo tanto, la probabilidad de que a lo sumo, cuatro automóviles de entre cinco encuentren la luz verde es de 0.99968, es decir, es bastante probable.


Apartado c)

En este apartado, debemos obtener:

P(X > 1) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]
Operamos:

P(X > 1) = 1 - [₅C₀·0.2⁰·(1-0.2)^5-0 + ₅C₁·0.2¹·(1-0.2)^5-1] = 0.26272

Por lo tanto, la probabilidad de más de un automóviles de entre cinco encuentren la luz verde es de 0.26272.