Problema56: VAD

Ej56. Por larga experiencia se ha determinado que la meningitis por salmonela, enfermedad rara pero muy grave en los lactantes, produce una mortalidad aproximada del 60% aún cuando sean tratados con cloranfenicol, seguido de tetraciclinas.

En un hospital ingresaron 16 niños lactantes atacados por la enfermedad, en un brote epidémico en una gran ciudad. Se pide calcular la probabilidad de que:

a) Sobrevivan más de la mitad.

b) Sobrevivan todos.

c) Mueran todos.

d) El número de supervivientes esté comprendido entre 6 y 10, incluidos estos extremos.


Realizamos una recopilación de datos del enunciado del problema:

· E ≡ 'Número de muertes de salmonela por meningitis'.
· Tamaño de la muestra: n = 16.
· La variable aleatoria E sigue una distribución Binomial: E ~ B(16, 0.6).

Pasamos a resolver los distintos apartados.


Apartado a)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(Ē > 8) = 1 - P(Ē ≤ 8) = 1 - [P(Ē = 0) + P(Ē = 1) +···+ P(Ē = 7) + P(Ē = 8)]

Hay que tener en cuenta que, en este caso nos piden la probabilidad de que sobrevivan más de la mitad, en una muestra de 16 niños la mitad son 8, y la probabilidad de supervivencia es:

· P(Ē) = 1 - P(E) = 1 - 0.6 = 0.4.

Como son bastantes elementos, vamos a emplear el software R para resolver este apartado:

> 1-pbinom(c(8), 16, 0.4)
[1] 0.1422697

Por lo tanto, la probabilidad de que sobrevivan más de la mitad de los niños de un total de dieciséis es de, aproximadamente 0.142270.


Apartado b)

En este apartado, debemos obtener la probabilidad de que sobrevivan todos los niños:

P(Ē = 16) = ₁₆C₁₆·0.4¹⁶·(1-0.4)^16-16 ≈ 0.0000004

Por lo tanto, la probabilidad de que sobrevivan todos los niños de un total de dieciséis es de, aproximadamente 0.0000004, prácticamente improbable de que esto ocurra.


Apartado c)

En este apartado, debemos obtener la probabilidad de que mueran todos los niños:

P(E = 16) = ₁₆C₁₆·0.6¹⁶·(1-0.6)^16-16 ≈ 0.000282

Por lo tanto, la probabilidad de que fallezcan todos los niños de un total de dieciséis es de, aproximadamente 0.000282, una probabilidad bastante baja.


Apartado d)

En este apartado, debemos obtener la probabilidad de supervivencia de niños comprendidos entre:

P(6 ≤ Ē ≤ 10) = P(Ē = 6) + P(Ē = 7) + P(Ē = 8) + P(Ē = 9) + P(Ē = 10)

Como son bastantes elementos, vamos a emplear el software R para resolver este apartado:

> sum(dbinom(c(6, 7, 8, 9, 10), 16, 0.4))
[1] 0.6520177

Por lo tanto, la probabilidad de que sobrevivan entre 6 y 10 niños (ambos inclusive) de un total de dieciséis es de, aproximadamente 0.652018.