Problema41: VAD

Ej41. El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica pañuelos sabe que el 5% de su producción tiene algún tipo de defecto. Los pañuelos se empaquetan en cajas con 15 elementos.

Calcular la probabilidad de que una caja contenga:

a) 2 elementos defectuosos.

b) Menos de 3 elementos defectuosos.

c) Entre 3 y 5 elementos defectuosos(ambos incluidos).


Realizamos una recopilación de datos del enunciado del problema:

· X ≡ 'Número de defectos en pañuelos'.
· Tamaño de la muestra: n = 15.
· La variable aleatoria X sigue una distribución Binomial: X ~ B(15, 0.05).

Pasamos a resolver los distintos apartados.


Apartado a)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X = 2) = ₁₅C₂·0.05²·(1-0.05)^15-2 ≈ 0.134752

Por lo tanto, la probabilidad de encontrar dos defectos en pañuelos en una muestra de 15 elementos es de, aproximadamente, 0.134752.


Apartado b)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Sustituimos:

P(X < 3) = ₁₅C₀·0.05⁰·(1-0.05)^15-0 + ₁₅C₁·0.05¹·(1-0.05)^15-1 + ₁₅C₂·0.05²·(1-0.05)^15-2

Operamos y el resultado es:

P(X < 3) ≈ 0.9638

Por lo tanto, la probabilidad de encontrar menos de tres defectos en pañuelos en una muestra de 15 elementos es de, aproximadamente, 0.9638, una probabilidad alta.


Apartado c)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Sustituimos:

P(3 ≤ X ≤ 5) = ₁₅C₃·0.05³·(1-0.05)^15-3 + ₁₅C₄·0.05⁴·(1-0.05)^15-4 + ₁₅C₅·0.05⁵·(1-0.05)^15-5

Operamos y el resultado es:

P(3 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.036147

Por lo tanto, la probabilidad de encontrar entre tres y cinco defectos en pañuelos en una muestra de 15 elementos es de, aproximadamente, 0.036147.