jueves, 22 de abril de 2010

Problema41: VAC

Ej41. Una prueba consta de 200 preguntas de verdadero o falso, para un sujeto que respondiese al azar, determinar cuál sería la probabilidad de que acertase:

a) 50 preguntas o menos.

b) Más de 50 y menos de 100.

c) Más de 120 preguntas.



Sea la variable aleatoria discreta X,número de aciertos a preguntas dadas. Realizamos un resumen de los datos que nos ofrece el enunciado del problema:

La variable aleatoria discreta X, sigue una distribución binomial: X ~ B(200, 0.5).

Al ser preguntas de verdadero/falso, la probabilidad de acierto es de 0.5.

Comprobaremos, si se puede aproximar a la normal, para ello, se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. n·p ≥ 5: 200·0.5 = 100 ≥ 5 OK.

2. n·q ≥ 5: 200·(1-0.5) = 100 ≥ 5 OK.

Como podemos comprobar, cumple las restricciones necesarias, por lo que resolveremos este problema usando la aproximación a la normal:



Por lo tanto: X ~ N(n·p, √(n·p·q)) = N(100, √50).

Pasamos a resolver los apartados dados.


Apartado a)

Debemos calcular: P(X ≤ 50), pero antes, debemos aplicar la corrección por continuidad, por lo tanto, tenemos: P(X ≤.50.5).

Tipificamos:



Operamos:

P(X ≤.50.5) ≈ P(Z ≤.-7) = P(Z ≥ 7) = 1 - P(Z ≤.7) = 1 - (0.5 + Φ(7))] = 0.5 - Φ(7)

En las tablas de la Normal tipificada, se dispone del valor exacto en las tablas que están en Aqueronte para su consulta, por lo tanto: Φ(7) = 0.5.

Por lo tanto, la solución a este apartado es la siguiente:

P(X ≤.50.5) ≈ P(Z ≤.-7) = 0.5 - Φ(7) = 0.5 - 0.5 = 0

Se puede concluir con el dato obtenido es que la probabilidad de que un individuo acierte menos o igual a cincuenta preguntas es nula, por lo tanto, se entiende que se acertarán más.


Apartado b)

Debemos calcular: P(50 < .X < .100), pero antes, debemos aplicar la corrección por continuidad, por lo tanto, tenemos: P(50.5 < .X < .99.5).

Tipificamos:


Simplificamos:

P(50.5 < .X < .99.5) ≈ P(-7 < .Z < .-0.07)

Operamos:

P(50.5 < .X < .99.5) ≈ P(-7 < .Z < .-0.07) = [1 - (0.5 + Φ(0.07))] - [1 - (0.5 + Φ(7))]

Simplificamos:

P(50.5 < .X < .99.5) ≈ P(-7 < .Z < .-0.07) = Φ(7) - Φ(0.07)

En las tablas de la Normal tipificada, se dispone del valor exacto en las tablas que están en Aqueronte para su consulta, por lo tanto:

· Φ(0.07) = 0.0279.
· Φ(7) = 0.5.

Por lo tanto, la solución a este apartado es la siguiente:

P(50.5 < .X < .99.5) ≈ P(-7 < .Z < .-0.07) = Φ(7) - Φ(0.07) = 0.5 - 0.0279 = 0.4721


Apartado c)

Debemos calcular: P(X >.120) = 1 - P(X ≤ 120), pero antes, debemos aplicar la corrección por continuidad, por lo tanto, tenemos: 1 - P(X ≤.120.5).

Tipificamos:



Operamos:

P(X >.120) ≈ 1 - P(Z ≤ 2.9) = 1 - (0.5 + Φ(2.9)) = 0.5 - Φ(2.9)

En las tablas de la Normal tipificada, se dispone del valor exacto en las tablas que están en Aqueronte para su consulta, por lo tanto:

· Φ(2.9) = 0.4981.

Por lo tanto, la solución a este apartado es la siguiente:

P(X >.120) ≈ 1 - P(Z ≤ 2.9) = 0.5 - Φ(2.9) = 0.5 - 0.4981 = 0.0019

Por lo tanto, acertar más de 120 preguntas de un total de 200 es de 0.0019, una probabilidad baja.

4 comentarios:

Anónimo dijo...

Hola, en el apartado b, cuando se aplica la correccion por continuidad, en vez de 95.5 no se deberia aplicar 99,5?.
Fantastico su blog.
Un saludo.

Manuel Caballero dijo...

Buenas:

Tienes toda la razón del mundo, ha sido un error al escribir la expresión que ido manteniendo a lo largo del apartado.

Aunque si te das cuenta, los cálculos están bien.

Un saludo y gracias por la corrección.

Anónimo dijo...

Disculpa pero por que en el operamos del apartado c) se usa P(x>120) y no 120.5 como la corrección por continuidad?

AqueronteBlog dijo...

Buenas:

Si te fijas bien en el problema, se ha aplicado la corrección por continuidad, es más el propio inicio de la solución de dicho apartado lo menciona.


Un saludo.