Problema42: VAD

Ej42. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera. Un alumno responde al azar, determinar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que responda al menos a dos cuestiones correctamente?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que responda bien a seis?.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que responda bien como máximo a dos cuestiones?.


Realizamos una recopilación de datos del enunciado del problema:

· X ≡ 'Número de respuestas correctas'.
· Tamaño de la muestra: n = 10.
· Existen cinco opciones de las cuáles sólo una es cierta. Probabilidad de acierto es de: 1/5 = 0.2.
· La variable aleatoria X sigue una distribución Binomial: X ~ B(10, 0.2).

Pasamos a resolver los distintos apartados.


Apartado a)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < .2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Sustituimos:

P(X ≥ 2) = 1 - [₁₀C₀·0.2⁰·(1-0.2)^10-0 + ₁₀C₁·0.2¹·(1-0.2)^10-1] ≈ 0.624190

Por lo tanto, la probabilidad de acertar correctamente al menos a dos preguntas de un total de diez es de, aproximadamente, 0.624190.


Apartado b)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X = 6) = ₁₀C₆·0.2⁶·(1-0.2)^10-6 ≈ 0.005505

Por lo tanto, la probabilidad de acertar correctamente a seis preguntas de un total de diez es de, aproximadamente, 0.005505, una probabilidad baja.


Apartado c)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Sustituimos:

P(X ≤ 2) = ₁₀C₀·0.2⁰·(1-0.2)^10-0 + ₁₀C₁·0.2¹·(1-0.2)^10-1 + ₁₀C₂·0.2⁵·(1-0.2)^10-2

Operamos y el resultado es:

P(X ≤ 2) ≈ 0.6778

Por lo tanto, la probabilidad de acertar correctamente un máximo de dos preguntas de un total de diez es de, aproximadamente, 0.6778.