Problema52: VAD

Ej52. Un portador de tuberculosis tiene un 10% de posibilidades de trasmitir la enfermedad a alguien que no ha estado expuesto a ella. Durante un día entra en contacto con nueve de tales personas.

Calcular:

a) Número medio de personas a las que se les trasmite la enfermedad.

b) Probabilidad de que se les transmita la enfermedad a 4 personas.

c) Como máximo se les transmita la enfermedad a 2 personas.

d) Al menos se les transmita la enfermedad a 2 personas.


Realizamos una recopilación de datos del enunciado del problema:

· X ≡ 'Número de personas que se le transmite la tuberculosis'.
· Tamaño de la muestra: n = 9.
· La variable aleatoria X sigue una distribución Binomial: X ~ B(9, 0.1).

Pasamos a resolver los distintos apartados.


Apartado a)

En este apartado nos piden obtener el número esperado de personas que se les tramitará la enfermedad, empleamos la esperanza o media de la distribución binominal:

· E[X] = n·p = 9·0.1 = 0.9

Por lo tanto, el valor medio que se espera que se contagien 0.9 personas.


Apartado b)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X = 4) = ₉C₄·0.1⁴·(1-0.1)^9-4 ≈ 0.007440

Por lo tanto, la probabilidad de que se le transmita la enfermedad a cuatro personas en una muestra de 9 elementos es de, aproximadamente, 0.007440.


Apartado c)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Sustituimos:

P(X ≤ 2) = ₉C₀·0.1⁰·(1-0.1)^9-0 + ₉C₁·0.1¹·(1-0.1)^9-1 + ₉C₂·0.1²·(1-0.1)^9-2

Operamos y el resultado es:

P(X ≤ 2) ≈ 0.947028

Por lo tanto, la probabilidad de que se contagien de la enfermedad como máximo dos personas en una muestra de 9 elementos es de, aproximadamente, 0.947028.


Apartado d)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < .2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Sustituimos:

P(X ≥ 2) = 1 - [₉C₀·0.1⁰·(1-0.1)^9-0 + ₉C₁·0.1¹·(1-0.1)^9-1]

Operamos y el resultado es:

P(X ≥ 2) ≈ 0.225159

Por lo tanto, la probabilidad de que se contagien al menos dos personas de la enfermedad, en una muestra de 9 elementos es de, aproximadamente, 0.225159.