Problema12. VAD.

Ej12. Un almacén, recibió 1000 botellas de vino. La probabilidad de que se rompa una botella durante el transporte es de 0.003.

Halla la probabilidad de que el almacén haya recibido rotas:

a) Dos botellas.

b) Menos de dos botellas.

c) Más de dos botellas.

d) Por lo menos una botella.

Este problema es un claro ejemplo de “éxito” o “fracaso”, por lo tanto, se empleará la expresión de la distribución binomial para hallar la solución del problema.

Donde:

p = 0.003: Probabilidad de éxito, una botella se rompa.

n = 1000: Número de botellas.

x: Depende de apartado, probabilidad de la variable aleatoria.

Se define la variable aleatoria:

X Ξ “Número de botellas rotas”.

Hay que tener en cuenta, que aunque sea una distribución binomial, ésta se puede aproximar a una distribución de Poisson, ya que:

• n es muy grande.

• n·p = 1000·0.003 = 3 ≤ 7.

Por lo tanto: λ = n·p = 3.

Apartado a)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de hallar 2 botellas rotas.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener dos botellas rotas con las condiciones indicadas, es de, aproximadamente, 0.224042.

Apartado b)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de hallar menos de 2 botellas rotas.

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)

Sustituimos valores:

Por lo tanto, la probabilidad de obtener menos de dos botellas rotas con las condiciones indicadas, es de, aproximadamente, 0.199148.

Apartado c)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de hallar más de 2 botellas rotas.

P(X > 2) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)

Sustituimos valores:

Por lo tanto, la probabilidad de obtener más de dos botellas rotas con las condiciones indicadas, es de, aproximadamente, 0.576810.

Apartado d)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de hallar por lo menos una botella rota.

P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)

Usando los valores de los apartados anteriores, se resuelve este apartado:

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 – 0.04979 = 0.95021

Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos una botella rota con las condiciones indicadas, es de, aproximadamente, 0.95021.