Problema85: VAD

Ej85. Supongamos que una compañía tiene un promedio de 1 descubrimiento por cada 100 pozos perforados. Se pide:

a) Si se tienen que perforar 20 pozos. ¿Cuál es la probabilidad de que se logre al menos un descubrimiento?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de lograr al menos 3 descubrimientos si se perforan 500 pozos?


Realizamos una recopilación de datos del enunciado del problema:

· X ≡ 'Nº de pozos descubiertos mediante perforaciones'.
· La variable aleatoria X sigue una distribución Binomial: X ~ B(N, 0.01).

Pasamos a resolver los distintos apartados que nos ofrece el enunciado del problema.


Apartado a)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)

Sustituimos:

P(X ≥ 1) = 1 - ₂₀C₀·0.01⁰·(1-0.01)^20-0 ≈ 0.182093

Por lo tanto, la probabilidad de que se encuentren al menos un pozo si se perforan 20 pozos es de, aproximadamente, 0.182093.


Apartado b)

La probabilidad que debemos obtener es la siguiente:

P(X ≥ 3) = 1 - P(X < .3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]

Las características del tamaño de la muestra y la probabilidad relativamente baja que tiene, comprobaremos si podemos adaptar la distribución binomial a la de Poisson.

Para ello, debe cumplirse:

· n grande: n = 500 OK.
· n·p = 500·0.01 = 5 ≤ 7 OK.

Por lo tanto, se puede adaptar la variable aleatoria a la distribución de Poisson: X ~ P(5).

Al tener que calcularse el valor de varios elementos para obtener la solución a este apartado, vamos a emplear el software R para realizar dicha operación:

> 1-sum(dpois(c(0, 1, 2), 5))
[1] 0.875348

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos se encuentren tres descubrimientos si se perforan 500 pozos es de 0.875348.

· NOTA: Este apartado también se podría haber obtenido mediante una aproximación a la distribución Normal.