Problema46: VAD

Ej46. Un operador elige al azar entre n chips de una caja. La probabilidad de que sea defectuoso es 0.2.

Determinar:

a) Si n = 7, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 chips sean defectuosos?.

b) Si n = 50, ¿cuál es la probabilidad de tener entre 9 y 12 chips defectuosos?.

c) ¿Cuántos chips hay en la caja si la varianza es 32?.


Realizamos una recopilación de datos del enunciado del problema:

· X ≡ 'Número de chips defectuosos'.
· Tamaño de la muestra: n = n.
· La variable aleatoria X sigue una distribución Binomial: X ~ B(n, 0.2).

Pasamos a resolver los distintos apartados.


Apartado a)

Teniendo en cuenta que n = 7, nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(X ≥ 3) = 1 - P(X < .3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]

Sustituimos:

P(X ≥ 3) = 1 - [₇C₀·0.2⁰·(1-0.2)^7-0 + ₇C₁·0.2¹·(1-0.2)^7-1 + ₇C₂·0.2²·(1-0.2)^7-2] = 0.148032

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos tres chips sean defectuosos de un total de siete es de 0.148032.


Apartado b)

Teniendo en cuenta que n = 50, nos piden obtener la siguiente probabilidad:

P(9 < .X < .12) = P(X = 10) + P(X = 11)

Sustituimos:

P(9 < .X < .12) = ₅₀C₁₀·0.2¹⁰·(1-0.2)^50-10 + ₅₀C₁₁·0.2¹¹·(1-0.2)^50-11 ≈ 0.266927

Por lo tanto, la probabilidad de que el número de chips defectuosos esté entre 9 y 12 (ambos excluidos) de un total de cincuenta es de, aproximadamente, 0.266927.

NOTA: Este apartado es posible obtener una solución aproximando la binomial a la distribución Normal, ya que cumple con los requisitos necesarios para tal fin.


Apartado c)

Sabiendo que la varianza es de 32, nos piden obtener el número de chips que hay en la caja. Empleamos la propia definición de varianza para la distribución binomial:

· σ = n·p·(1-p)

Sustituimos valores:

32 = n·0.2·(1-0.2)

Sustituimos y obtenemos la solución a este apartado:

n = 32/0.16 = 200

Por lo tanto, el número de chips que debe haber en la caja teniendo en cuenta que la varianza es de 32, es de 200 chips.