Problema5. MED.

Ej5. En la siguiente tabla, se encuentran recogidos los pesos en gramos (x 0.01) de una muestra de 40 bolas de acero:

615	630	630	631	631	632	635	639	640	640	641	641	642	643
644	644	645	646	650	650	651	653	653	654	655	657	657	658
661	663	664	664	666	667	668	668	669	670	673	685

Agrupándolos en cinco clases, construya la correspondiente distribución de frecuencias, y halle la media, la mediana y la cuasi desviación típica.

Antes de agrupar en clases, amplíe el intervalo a [610, 690].

Se amplia el intervalo al dado por el enunciado.

y .

Tomamos las clases que nos indica el enunciado:

Una vez dispuesto los límites del intervalo, calculamos la longitud:

No hace falta redondear el valor de h ya que es igual al número de cifras decimales que poseen los datos de la muestra, por lo tanto,

Y ya se está listo para realizar los intervalos y las marcas del mismo:

Primer Intervalo.

Subintervalo Inferior:

Subintervalo Superior:

Marca:

Segundo Intervalo.

Subintervalo Inferior:

Subintervalo Superior:

Marca:

Tercer Intervalo.

Subintervalo Inferior:

Subintervalo Superior:.

Marca:

Cuarto Intervalo.

Subintervalo Inferior:

Subintervalo Superior:

Marca:

Quinto Intervalo.

Subintervalo Inferior:

Subintervalo Superior:

Marca:

La frecuencia absoluta será el número de veces que aparecen datos en los respectivos intervalos calculados anteriormente.

Para ello, empezamos a contar cuantos datos están dentro de cada intervalo de la tabla de datos original del problema, obteniéndose la siguiente tabla:

Subintervalos	Marca	Frecuencia Absoluta, fi
610 – 625	617.5	1
626 – 641	633.5	11
642 – 657	649.5	15
658 – 673	665.5	12
674 – 689	681.5	1

Una vez obtenidas las frecuencias absolutas, se obtienen las frecuencias absolutas acumuladas.

Las frecuencias absolutas acumuladas se obtienen aplicando la siguiente expresión:

Es decir, la frecuencia absoluta acumulada del primer subintervalo será igual a su frecuencia absoluta.

En cambio, la frecuencia absoluta acumulada del segundo subintervalo, será la suma de la frecuencia absoluta del intervalo anterior más la frecuencia absoluta suya.

Y así será la forma de proceder, obteniéndose la siguiente tabla:

Subintervalos	Marca	Frecuencia Absoluta, fi	Frecuencia Absoluta Acumulada, Fi
610 – 625	617.5	1	1
626 – 641	633.5	11	12
642 – 657	649.5	15	27
658 – 673	665.5	12	39
674 – 689	681.5	1	40

Una vez obtenidas las frecuencias absolutas de los respectivos subintervalos, calculamos la frecuencia relativa:

Para ello, se sabe que los datos originales, sin agrupar, hacen un total de N = 40.

Por lo tanto, las frecuencias relativas se muestran en la siguiente tabla:

Subintervalos	Marca	Frecuencia Absoluta, fi	Frecuencia Absoluta Acumulada, Fi	Frecuencia Relativa, hi
610 – 625	617.5	1	1	0.025
626 – 641	633.5	11	12	0.275
642 – 657	649.5	15	27	0.375
658 – 673	665.5	12	39	0.3
674 – 689	681.5	1	40	0.025

Ahora, se calcula las frecuencias relativas acumuladas. Para ello, aplicaremos la siguiente expresión:

Teniéndose en cuenta que N = 40 (Número total de datos originales del problema)

Por lo tanto, aplicando la anterior expresión, completamos la tabla tal como sigue:

Subintervalos	Marca	Frecuencia Absoluta, fi	Frecuencia Absoluta Acumulada, Fi	Frecuencia Relativa, hi	Frecuencia Relativa Acumulada, Hi
610 – 625	617.5	1	1	0.025	0.025
626 – 641	633.5	11	12	0.275	0.3
642 – 657	649.5	15	27	0.375	0.675
658 – 673	665.5	12	39	0.3	0.975
674 – 689	681.5	1	40	0.025	1

Una vez obtenidas todas las frecuencias, pasamos a calcular la media, la mediana y la cuasi desviación típica.

Datos Agrupados.

La media para datos agrupados se calcula mediante la siguiente expresión:

Para la mediana, es preciso localizar aquella clase que cumple las desigualdades siguientes:

y .

Y la expresión de la mediana para datos agrupados es la siguiente:

Para la cuasi desviación típica, se usa la siguiente expresión:

Con las expresiones anteriores, calculamos lo que nos piden.

La media es:

Para la mediana, es preciso localizar aquella clase que cumple las desigualdades siguientes:


y .

La clase que cumple dicha desigualdad, es la del subintervalo, F_k, 642 – 657 con una frecuencia absoluta de f = 15 y el subintervalo, F_k-1, 626 – 641, con una frecuencia absoluta acumulativa de F_k = 12.

Y la expresión de la mediana para datos agrupados es la siguiente:

Lo último que nos queda por calcular, es la cuasi desviación típica, para ello aplicamos la expresión siguiente para su cálculo:

Se obtiene: