Problema3: Análisis de Regresión

Ej3. La tabla siguiente, presenta datos sobre el volumen y (x10^-4mm³) de desgaste del acero dulce, y la viscosidad x del aceite:

x..	1.6.	9.4.	15.5.	20.0.	22.0.	33.0.	35.5.	40.5.	43.0
y	240	181	193	155	172	94	110	75	113

a) Ajusta un modelo de regresión lineal simple utilizando la técnica de mínimos cuadrados.

b) Obtén el valor ajustado de y cuando x = 22, y calcula el residuo correspondiente.

c) Calcula R² para este modelo, y da una interpretación de esta cantidad.


Antes de empezar a resolver los apartados propuestos, hacemos una recopilación de datos que podemos extraer de la tabla dada, ya que posteriormente serán de gran utilidad.

· n = 9

·

·

·

·

·


Apartado a)

Para calcular la pendiente, la expresión matemática es:

Para obtener su valor, necesitamos saber los valores de Sxy y Sxx:

·

·

Por lo tanto, la pendiente es:

Una vez obtenida la pendiente, podemos tener el valor del estimador para la ordenada:

Sustituimos valores:

Por lo tanto, la ecuación de regresión ajustada es:

y(x) = 234.070733 - 3.508556·x

Siendo:

· y ≡ Volumen de desgaste del acero dulce.
· x ≡ Viscosidad del aceite.

Apartado b)

Para obtener el valor ajustado de y cuando x = 22, empleamos la ecuación de regresión ajustada:

y(22) = 234.070733 - 3.508556 · 22 = 156.882501

Para obtener el residuo, el valor real está contenido en la tabla, lo que debemos hacer es, restar la real con la que obtenemos con la ecuación de regresión ajustada:

Residuo ≡ 172 - (234.070733 - 3.508556 · 22) = 15.117499

Apartado c)

Para obtener el coeficiente de determinación, empleamos su expresión matemática:

Debemos obtener el valor de Syy:

·

Sustituimos valores y obtenemos el resultado del coeficiente de determinación:

Al estar próximo a 1, la regresión es significativa.