Problema7: Circuitos de 1º Orden

Ej7. El interruptor S₁ ha estado abierto durante un largo período de tiempo, mientras que el interruptor S₂ ha estado cerrado durante un largo período de tiempo. En t = 0, el interruptor S₂ se abre y el interruptor S₁ se cierra.

Obtener la evolución de v(t).


Nos piden obtener el valor de v(t) que se muestra en el circuito del problema, para el ello, debemos prestar atención a las condiciones que nos expone el enunciado.


· t < 0. S₁ Abierto y S₂ Cerrado:

Según el enunciado, los interruptores en esta posición han estado durante un largo período de tiempo, por lo que solamente tenemos régimen permanente. Esto quiere decir que el condensador se habrá cargado completamente y su comportamiento es de circuito abierto.

El circuito que tendremos será el siguiente:

Para obtener el resultado de una manera más rápida, vamos a realizar una transformación de fuentes (de fuente de intensidad lineal a fuente de tensión lineal), por lo tanto, el circuito será:

· NOTA: V₂ = R₄· I₁ = 3·4 = 12 V

Obtener la tensión es fácil, simplemente empleamos un divisor de tensión:

· V_x = 12·[6/(6 + 3)] = 8 V

Teniendo en cuenta que la tensión que nos piden obtener está definida de manera contraria a la obtenida, tenemos:

· v_p = - V_x = - 8 V

Esto quiere decir, que estando los interruptores en la posición indicada anteriormente y mediante un largo período de tiempo, la tensión, en bornas, del condensador será de - 8 V.

Ahora, pasamos a estudiar que ocurre cuando los interruptores cambian de posición en el siguiente instante de tiempo indicado por el enunciado del problema.


· t = 0. S₁ Cerrado y S₂ Abierto:

En este instante y circunstancias, tenemos el siguiente circuito:

Aparte, debemos tener en cuenta que el condensador cuenta con una tensión inicial de:

· v(0^-) = - 8 V

Para este caso, tenemos dos comportamiento en el circuito, por un lado: El régimen transitorio (v_n) y por el otro: El régimen permanente (v_p). La solución general será del tipo:

· v(0⁺) = v_p + v_n

Así que vamos a obtener los dos por separado.


· Régimen Permanente:

Este caso, el interruptor S₁ permanece cerrado durante un largo período de tiempo, por lo que, el condensador se cargará completamente y se comportará como un circuito abierto.

El circuito que tenemos es el siguiente:

Obtener la tensión del condensador es fácil, simplemente con un divisor de tensión:

· v_p = 30·[6/(6 + 12)] = 10 V.

El condensador se cargará hasta la tensión máxima que proporciona el circuito, en este caso, hasta 10 V.


· Régimen Transitorio:

El condensador se está cargando, en este caso, vamos a obtener el circuito equivalente de Thevenin, por su sencillez y sobre todo porque, nos simplificará los cálculos posteriormente.

==>

Si realizamos los cálculos, obtenemos el valor de los parámetros deseados:

· V_Th = 30·[6/(6 + 12)] = 10 V.
· R_Th = 12||6 = (12·6)/(12 + 6) = 4 Ω

El circuito que tenemos es el siguiente:

Realizamos el análisis mediante LVK:

· [Ec1] v_n + i_c·(R_Th + R₃) - V_Th = 0

Dónde:

· i_c = C·Dv_n

Sustituimos el valor en [Ec1] y dividimos por C:

· Dv_n + [1/[C·(R_Th + R₃)]]·v_n = V_Th/[C·(R_Th + R₃)]

Ya tenemos nuestra ecuación diferencial de 1º Orden, la ecuación homogénea es:

· [Ec2] Dv_n + [1/[C·(R_Th + R₃)]]·v_n = 0

Por teoría, sabemos que una solución a la ecuación diferencial homogénea de 1º Orden es:

· v_n(t) = k·e^-A·t

Realizamos la primera derivada y sustituimos en [Ec2]:

- k·A·e^-A·t + [1/[C·(R_Th + R₃)]]·k·e^-A·t = 0

Analizamos en circuito en el instante t = 0, por lo tanto:

- k·A + [1/[C·(R_Th + R₃)]]·k = 0

Despejamos el parámetro A:

· A = 1/[C·(R_Th + R₃)] = 1/[0.1·(4 + 6)] = 1 s^-1

Por lo tanto, la constante de tiempo en el instante t = 0 es:

· τ = 1/A = 1/1 = 1 s

Una vez obtenido el parámetro A, vamos a obtener el valor del parámetro k, para ello, aplicamos la condición del condensador.

· Condensador: La tensión no puede cambiar bruscamente en un instante concreto.

Hay que tener en cuenta que el condensador viene cargado:

· v(0^-) = - 8 V

En el instante t = 0:

· v(0^-) = v(0⁺)

Por lo tanto:

· - 8 = v_p + v_n = 10 + k·e^-t = {t = 0} = 10 + k

Despejamos k:

· k = - 8 - 10 = - 18

Así que, una expresión para la tensión del condensador es:

· v(t) = 10 - 18·e^-t , t ≥ 0


En modo de conclusión, la tensión del parámetro v(t) que nos indica el enunciado del problema tendrá la siguiente expresión matemática:

Cuya representación gráfica es la que se muestra a continuación:

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Os dejo una simulación realizada en LTSpice:

Problema 7: Transitorios de 1º Orden

Problema 7 Problema 7 Problema 7

La simulación no es fiel a las especificaciones del problema, ya que, entre otras cosas, simular un interruptor en LTSpice es algo complicado. Aún así, se puede ver perfectamente cómo evoluciona la tensión del condensador y obtener la constante de tiempo del circuito.