Problema93: Probabilidad

Ej93. Ante el inminente arranque de la competición de fútbol europeo: Eurocopa Polonia/Ucrania 2012, se quiere realizar un estudio estadístico sobre los equipos que van a participar.

Se sabe, que la configuración para ser campeón de la competición sigue el siguiente patrón:

· 1º: Ser primero o segundo de grupo.
· 2º: Pasar cuartos de final.
· 3º: Pasar semifinales.
· 4º: Ganar la final.

Dicho patrón se ha mantenido desde la Eurocopa Inglaterra 1996, por lo tanto, los datos obtenidos desde ésa competición hasta la última (Eurocopa Austria/Suiza 2008) son:

Equipos/Grupos		1º Grupo	2º Grupo		1/4 Final	Semifinales	Final
· Grupo A
Polonia
Grecia			1		1	1	1
Rusia			1		1
Rep. Checa		1	1		2	1
· Grupo B
Holanda		2	2		2
Dinamarca			1
Alemania		1	1		2	2	1
Portugal		4			2	1
· Grupo C
España		2	1		1	1	1
Italia		1	1		1	1
Irlanda
Croacia		1	1
· Grupo D
Francia		2	1		2	1	1
Inglaterra		1	1		1
Ucrania
Suecia		1

· NOTA: Los datos mostrados en la anterior tabla corresponde a las veces que los equipos han conseguido superar las fases indicadas. El computo de datos corresponde a las 4 últimas Eurocopas. Los equipos que no tienen datos es que no han conseguido superar la fase o no han llegado a disputarla.

Se desea saber:

a) ¿Qué equipos tienen más probabilidades de pasar la fase de grupos? En otras palabras, ¿qué equipos son más probables que lleguen a cuartos de final?.

b) Teniendo en cuenta los datos anteriores, ¿qué equipos tienen más probabilidades de pasar los cuartos de final? En otras palabras, ¿que equipos son más probables que lleguen a semifinales?.

c) Teniendo en cuenta los datos anteriores, ¿qué equipos tienen más probabilidades de pasar la semifinal? En otras palabras, ¿qué equipos son más probables que lleguen a la final?.

d) Teniendo en cuenta los datos anteriores, ¿qué equipos tienen más probabilidades de ganar la Eurocopa Polonia/Ucrania 2012?.

e) Sin tener en cuenta ningún análisis previo, simplemente con los datos expuestos, ¿cuáles equipos tienen más probabilidad de ganar la Eurocopa Polonia/Ucrania 2012?.


Apartado a)

En este apartado nos piden la probabilidad de pasar la 1ª Fase de Grupo, para ello, el equipo debe quedar primero o segundo del grupo en el que juegue:

· P(Pasar 1ª Fase Grupo) = P(Ser 1º Grupo ∪ Ser 2º Grupo)

Lo realizamos para todos los equipos:

· P(Polonia) = 0/4 + 0/4 = 0
· P(Grecia) = 0/4 + 1/4 = 1/4
· P(Rusia) = 0/4 + 1/4 = 1/4
· P(Rep. Checa) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
· P(Holanda) = 2/4 + 2/4 = 4/4 = 1
· P(Dinamarca) = 0/4 + 1/4 = 1/4
· P(Alemania) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
· P(Portugal) = 4/4 + 0/4 = 1
· P(España) = 2/4 + 1/4 = 3/4
· P(Italia) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
· P(Irlanda) = 0/4 + 0/4 = 0
· P(Croacia) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
· P(Francia) = 2/4 + 1/4 = 3/4
· P(Inglaterra) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
· P(Ucrania) = 0/4 + 0/4 = 0
· P(Suecia) = 1/4 + 0/4 = 1/4

Con lo datos anteriores, podemos decir que:

· Los equipos que pasarán la primera fase son dos (hasta ahora, siempre han pasado esta primera fase): Portugal y Holanda.
· Los equipos con una alta probabilidad (3/4) de pasar son: España y Francia.
· Los equipos con una probabilidad de 1/2 de pasar son: Rep. Checa, Alemania, Italia, Croacia e Inglaterra.
· Los equipos con una probabilidad de 1/4 de pasar son: Grecia, Rusia, Dinamarca y Suecia.
· Los equipos que no son probables (0) de pasar son: Polonia, Irlanda y Ucrania.

Por lo tanto, por grupos podemos decir que los equipos que pasaran, a cuartos de final, son:

· Grupo A: Rep. Checa, Grecia o Rusia.
· Grupo B: Holanda y Portugal.
· Grupo C: España, Italia o Croacia.
· Grupo D: Francia e Inglaterra.


Apartado b)

Teniendo los equipos que pasarán la 1ª Fase para llegar a ser campeón de la Eurocopa, nos piden cuales de ellos, pasarán a cuartos de final. Para ello, necesitaremos saber cómo están emparejados estos equipos.

La forma es del siguiente tipo:

· 1º Encuentro 1/4 Final: A₁ - B₂
· 2º Encuentro 1/4 Final: B₁ - A₂
· 3º Encuentro 1/4 Final: C₁ - D₂
· 4º Encuentro 1/4 Final: D₁ - C₂

Donde:

· A₁ ≡ Equipo primero del Grupo A.
· A₂ ≡ Equipo segundo del Grupo A.
· B₁ ≡ Equipo primero del Grupo B.
· B₂ ≡ Equipo segundo del Grupo B.
· C₁ ≡ Equipo primero del Grupo C.
· C₂ ≡ Equipo segundo del Grupo C.
· D₁ ≡ Equipo primero del Grupo D.
· D₂ ≡ Equipo segundo del Grupo D.

Con los datos obtenidos del apartado anterior, vamos a analizar, la probabilidad de quedar primero o segundo de grupo.

· Grupo A:

· Probabilidad de ser primero de grupo:

· P(Rep. Checa) = 1/4
· P(Grecia) = 0/4 = 0
· P(Rusia) = 0/4 = 0

· Probabilidad de ser segundo de grupo:

· P(Rep. Checa) = 1/4
· P(Grecia) = 1/4
· P(Rusia) = 1/4

Por lo tanto, para el grupo A:

· A₁ ≡ Rep. Checa.
· A₂ ≡ Rusia o Grecia.

· Grupo B:

· Probabilidad de ser primero de grupo:

· P(Holanda) = 2/4 = 1/2
· P(Portugal) = 4/4 = 1

· Probabilidad de ser segundo de grupo:

· P(Holanda) = 2/4 = 1/2
· P(Portugal) = 0/4 = 0

Por lo tanto, para el grupo B:

· B₁ ≡ Portugal.
· B₂ ≡ Holanda.

· Grupo C:

· Probabilidad de ser primero de grupo:

· P(España) = 2/4 = 1/2
· P(Italia) = 1/4
· P(Croacia) = 1/4

· Probabilidad de ser segundo de grupo:

· P(España) = 1/4
· P(Italia) = 1/4
· P(Croacia) = 1/4

Por lo tanto, para el grupo C:

· C₁ ≡ España.
· C₂ ≡ Italia o Croacia.

· Grupo D:

· Probabilidad de ser primero de grupo:

· P(Francia) = 2/4 = 1/2
· P(Inglaterra) = 1/4

· Probabilidad de ser segundo de grupo:

· P(Francia) = 1/4
· P(Inglaterra) = 1/4

Por lo tanto, para el grupo D:

· D₁ ≡ Francia.
· D₂ ≡ Inglaterra.

Una vez, dispuesto las posiciones de los equipos dependiendo de la probabilidad de quedar primero o segundo de grupo, tenemos los siguientes emparejamientos para disputar los cuartos de final:

· Opción 1:

· 1º Encuentro 1/4 Final: Rep. Checa - Holanda
· 2º Encuentro 1/4 Final: Portugal - Rusia
· 3º Encuentro 1/4 Final: España - Inglaterra
· 4º Encuentro 1/4 Final: Francia - Italia

· Opción 2:

· 1º Encuentro 1/4 Final: Rep. Checa - Holanda
· 2º Encuentro 1/4 Final: Portugal - Grecia
· 3º Encuentro 1/4 Final: España - Inglaterra
· 4º Encuentro 1/4 Final: Francia - Italia

· Opción 3:

· 1º Encuentro 1/4 Final: Rep. Checa - Holanda
· 2º Encuentro 1/4 Final: Portugal - Rusia
· 3º Encuentro 1/4 Final: España - Inglaterra
· 4º Encuentro 1/4 Final: Francia - Croacia

· Opción 4:

· 1º Encuentro 1/4 Final: Rep. Checa - Holanda
· 2º Encuentro 1/4 Final: Portugal - Grecia
· 3º Encuentro 1/4 Final: España - Inglaterra
· 4º Encuentro 1/4 Final: Francia - Croacia

Una vez tenemos las opciones de emparejamientos de partidos, analizamos la probabilidad de pasar los cuartos de final con los datos de la tabla que nos ofrece el enunciado del problema:

· P(Rep. Checa) = 2/4 = 1/2
· P(Rusia) = 1/4
· P(Grecia) = 1/4
· P(Portugal) = 2/4 = 1/2
· P(Holanda) = 2/4 = 1/2
· P(España) = 1/4
· P(Italia) = 1/4
· P(Croacia) = 0/4 = 0
· P(Francia) = 2/4 = 1/2
· P(Inglaterra) = 1/4

Por lo tanto, los equipos que pasarán a semifinales de la Eurocopa Polonia/Ucrania 2012, según las opciones obtenidas anteriormente, son:

· Opción 1:

· 1º Ganador Encuentro 1/4 Final: Rep. Checa u Holanda
· 2º Ganador Encuentro 1/4 Final: Portugal
· 3º Ganador Encuentro 1/4 Final: España o Inglaterra
· 4º Ganador Encuentro 1/4 Final: Francia

· Opción 2:

· 1º Ganador Encuentro 1/4 Final: Rep. Checa u Holanda
· 2º Ganador Encuentro 1/4 Final: Portugal
· 3º Ganador Encuentro 1/4 Final: España o Inglaterra
· 4º Ganador Encuentro 1/4 Final: Francia

· Opción 3:

· 1º Ganador Encuentro 1/4 Final: Rep. Checa u Holanda
· 2º Ganador Encuentro 1/4 Final: Portugal
· 3º Ganador Encuentro 1/4 Final: España o Inglaterra
· 4º Ganador Encuentro 1/4 Final: Francia

· Opción 4:

· 1º Ganador Encuentro 1/4 Final: Rep. Checa u Holanda
· 2º Ganador Encuentro 1/4 Final: Portugal
· 3º Ganador Encuentro 1/4 Final: España o Inglaterra
· 4º Ganador Encuentro 1/4 Final: Francia

Bueno, como se puede ver, todas las opciones desembocan en una sola opción:

· 1º Ganador Encuentro 1/4 Final: Rep. Checa u Holanda
· 2º Ganador Encuentro 1/4 Final: Portugal
· 3º Ganador Encuentro 1/4 Final: España o Inglaterra
· 4º Ganador Encuentro 1/4 Final: Francia


Apartado c)

En este apartado nos piden obtener los equipos que pasarán a la gran final de la Eurocopa Polonia/Ucrania 2012. Para ello, necesitaremos saber cómo están emparejados estos equipos.

La forma es del siguiente tipo:

· 1ª Semifinal: 1º - 3º
· 2ª Semifinal: 2º - 4º

Volvemos a tener varias opciones de emparejamientos, éstas son las siguientes:

· Opción 1:

· 1ª Semifinal: Rep. Checa - España
· 2ª Semifinal: Portugal - Francia

· Opción 2:

· 1ª Semifinal: Rep. Checa - Inglaterra
· 2ª Semifinal: Portugal - Francia

· Opción 3:

· 1ª Semifinal: Holanda - España
· 2ª Semifinal: Portugal - Francia

· Opción 4:

· 1ª Semifinal: Holanda - Inglaterra
· 2ª Semifinal: Portugal - Francia

Una vez tenemos las opciones de emparejamientos de partidos, analizamos la probabilidad de pasar las semifinales, con los datos de la tabla que nos ofrece el enunciado del problema:

· P(Rep. Checa) = 1/4
· P(Holanda) = 0/4 = 0
· P(Portugal) = 1/4
· P(España) = 1/4
· P(Inglaterra) = 0/4 = 0
· P(Francia) = 1/4

Por lo tanto, los equipos que pasarán a la gran final de la Eurocopa Polonia/Ucrania 2012, según las opciones obtenidas anteriormente, son:

· Opción 1:

· 1º Semifinalista: Rep. Checa o España
· 2º Semifinalista: Portugal o Francia

· Opción 2:

· 1º Semifinalista: Rep. Checa
· 2º Semifinalista: Portugal o Francia

· Opción 3:

· 1º Semifinalista: España
· 2º Semifinalista: Portugal o Francia

· Opción 4:

· 1º Semifinalista: Holanda o Inglaterra
· 2º Semifinalista: Portugal o Francia


Apartado d)

Por fin, llegamos al apartado importante, ¿quién ganará la Eurocopa Polonia/Ucrania 2012?. Teniendo en cuenta los datos obtenidos en los anteriores apartados, vamos a intentar dar una respuesta a esta pregunta.

La final, la juegan los equipos ganadores de sus respectivas semifinales, como hemos tenido varias alternativas de estas semifinales vamos a ver cuántas finales obtenemos:

· Opción 1 (4 posibles finales):

· Posible Final: Rep. Checa - Portugal
· Posible Final: Rep. Checa - Francia

· Posible Final: España - Portugal
· Posible Final: España - Francia

· Opción 2 (2 posibles finales):

· Posible Final: Rep. Checa - Portugal
· Posible Final: Rep. Checa - Francia

· Opción 3 (2 posibles finales):

· Posible Final: España - Portugal
· Posible Final: España - Francia

· Opción 4 (4 posibles finales):

· Posible Final: Holanda - Portugal
· Posible Final: Holanda - Francia

· Posible Final: Inglaterra - Portugal
· Posible Final: Inglaterra - Francia

Una vez tenemos las opciones de emparejamientos de partidos, analizamos la probabilidad de ganar la final, con los datos de la tabla que nos ofrece el enunciado del problema:

· P(Rep. Checa) = 0/4 = 0
· P(Holanda) = 0/4 = 0
· P(Portugal) = 0/4 = 0
· P(España) = 1/4
· P(Inglaterra) = 0/4 = 0
· P(Francia) = 1/4

Por lo tanto, el equipo ganador Eurocopa Polonia/Ucrania 2012, según las opciones obtenidas anteriormente, es:

· Opción 1 (4 posibles finales):

· Posible Ganador: Rep. Checa o Portugal
· Posible Ganador: Francia
· Posible Ganador: España
· Posible Ganador: España o Francia

· Opción 2 (2 posibles finales):

· Posible Ganador: Rep. Checa o Portugal
· Posible Ganador: Francia

· Opción 3 (2 posibles finales):

· Posible Ganador: España
· Posible Ganador: España o Francia

· Opción 4 (4 posibles finales):

· Posible Ganador: Holanda o Portugal
· Posible Ganador: Francia
· Posible Ganador: Inglaterra o Portugal
· Posible Ganador: Francia

De los posibles ganadores (18 ganadores), vamos a analizar qué equipo tiene más probabilidad de ganar la Eurocopa Polonia/Ucrania 2012 de cada equipo es:

· P(Rep. Checa) = 2/18 = 1/9
· P(Holanda) = 1/18
· P(Portugal) = 4/18 = 2/9
· P(España) = 4/18 = 2/9
· P(Inglaterra) = 1/18
· P(Francia) = 6/18 = 1/3

Por lo tanto, podemos decir que:

· Equipo más probable que gane la Eurocopa Polonia/Ucrania 2012: Francia.
· Siguientes equipos con probabilidad de ganarla: España o Portugal.
· Después tenemos: Rep. Checa.
· Y por último, los equipos menos probables son: Holanda e Inglaterra.

Bueno, esto es simplemente un estudio estadístico teniendo solo en cuenta sus datos históricos desde la Eurocopa del 1996 hasta la del 2008.

Apartado e)

En este apartado no vamos a analizar las diferentes fases y emparejamientos que pueden darse entre equipos dados sus resultados históricos, simplemente, obtendremos la probabilidad de ganar la Eurocopa Polonia/Ucrania 2012 sabiendo que para ganarla, un equipo debe pasar por las siguientes fases:

· P(Ganar Eurocopa) = P[(Quedar 1º o 2º su Grupo) ∩ (Pasar 1/4 Final) ∩ (Pasar 1/2 Finales) ∩ (Ganar Final)]

Por lo tanto, para cada equipo:

· P(Polonia) = (0/4 + 0/4)·(0/4)·(0/4)·(0/4) = 0
· P(Grecia) = (0/4 + 1/4)·(1/4)·(1/4)·(1/4) = 1/256
· P(Rusia) = (0/4 + 1/4)·(1/4)·(0/4)·(0/4) = 0
· P(Rep. Checa) = (1/4 + 1/4)·(2/4)·(1/4)·(0/4) = 0
· P(Holanda) = (2/4 + 2/4)·(2/4)·(0/4)·(0/4) = 0
· P(Dinamarca) = (0/4 + 1/4)·(0/4)·(0/4)·(0/4) = 0
· P(Alemania) = (1/4 + 1/4)·(2/4)·(2/4)·(1/4) = 1/32
· P(Portugal) = (4/4 + 0/4)·(2/4)·(1/4)·(0/4) = 0
· P(España) = (2/4 + 1/4)·(1/4)·(1/4)·(1/4) = 3/256
· P(Italia) = (1/4 + 1/4)·(1/4)·(1/4)·(0/4) = 0
· P(Irlanda) = (0/4 + 0/4)·(0/4)·(0/4)·(0/4) = 0
· P(Croacia) = (1/4 + 1/4)·(0/4)·(0/4)·(0/4) = 0
· P(Francia) = (2/4 + 1/4)·(2/4)·(1/4)·(1/4) = 3/128
· P(Inglaterra) = (1/4 + 1/4)·(1/4)·(0/4)·(0/4) = 0
· P(Ucrania) = (0/4 + 0/4)·(0/4)·(0/4)·(0/4) = 0
· P(Suecia) = (1/4 + 0/4)·(0/4)·(0/4)·(0/4) = 0

Por lo tanto:

· El equipo con más probabilidad de ganar la Eurocopa Polonia/Ucrania 2012: Alemania.
· Seguido de: Francia.
· Seguido de: España.
· Y por último: Grecia.

¿Y qué hacemos con los datos obtenidos en los otros apartados? Pues vamos a analizarlos de manera breve:

· Podemos ver claramente que, la selección Alemana, las veces que ha pasado la Fase de Grupo, siempre ha jugado la final, ganando una Eurocopa. El problema es que esta Eurocopa, está emparejada con Portugal y Holanda, ambas selecciones siempre han pasado la Fase de Grupos.

De ahí, que difiera los datos obtenidos en los apartados anteriores con éstos.

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Creo que no hace falta decir, que esto simplemente pretende ser, un ejercicio estadístico. Cualquier parecido con la realidad, es puro azar ;)