viernes, 21 de septiembre de 2012

Problema96: Probabilidad

Ej96. Una urna contiene 5 bolas blancas y 6 negras, se extrae al azar sucesivamente dos bolas. 

Obtener, teniendo en cuenta que no se reponen las bolas extraídas, los siguientes apartados:


a) La probabilidad que las dos resulten blancas.

b) La probabilidad de obtener una bola de cada color.



Teniendo en cuenta que se reponen las bolas extraídas, obtener los siguientes apartados:


c) La probabilidad que las dos resulten blancas.

d) La probabilidad de obtener una bola de cada color.


Recopilamos información del enunciado del problema.

Tenemos una urna que contiene las siguientes bolas:

· 5 Bolas blancas.
· 6 Bolas negras.

En total, en la urna hay: 5 + 6 = 11 bolas.

Definimos los elementos:

· B 'La bola es blanca'
· N 'La bola es negra'

La probabilidad de cada elemento se muestra a continuación:

· P(B) = 5/11
· P(N) = 6/11

En estos momentos estamos en disposición de resolver los distintos apartados que nos ofrece el enunciado del problema.

Apartado a)

En este apartado, debemos tener en cuenta que las bolas extraídas de la urna no se reponen, esto quiere decir, que cada vez que saquemos una bola de la urna, el total de bolas resultantes en dicha urna, se reducirá en una unidad.

La probabilidad que debemos obtener es la siguiente (ambas bolas extraídas sean blancas):

· P(B ∩ B) = (5/11)·(4/10) = 2/11

Por lo tanto, la probabilidad de sacar dos bolas blancas de la urna dada sin reposición es de, aproximadamente 0.181818.


Apartado b)

En este apartado, debemos tener en cuenta que las bolas extraídas de la urna no se reponen, esto quiere decir, que cada vez que saquemos una bola de la urna, el total de bolas resultantes en dicha urna, se reducirá en una unidad.

La probabilidad que debemos obtener es la siguiente (ambas bolas extraídas sean de diferente color):

· P[(B ∩ N) ∪ (N ∩ B)] = (5/11)·(6/10) +  (6/11)·(5/10) = 6/11

Por lo tanto, la probabilidad de sacar dos bolas de diferente color de la urna dada sin reposición es de, aproximadamente 0.545455.


Apartado c)

En este apartado, debemos tener en cuenta que las bolas extraídas de la urna se reponen, esto quiere decir, que cada vez que saquemos una bola de la urna, se volverá a introducir después de ver de que color es, en otras palabras, la urna siempre tiene el número total de bolas.

La probabilidad que debemos obtener es la siguiente (ambas bolas extraídas sean blancas):

· P(B ∩ B) = (5/11)·(5/11) = 25/121

Por lo tanto, la probabilidad de sacar dos bolas blancas de la urna dada con reposición es de, aproximadamente 0.206612.


Apartado d)

En este apartado, debemos tener en cuenta que las bolas extraídas de la urna se reponen, esto quiere decir, que cada vez que saquemos una bola de la urna, se volverá a introducir después de ver de que color es, en otras palabras, la urna siempre tiene el número total de bolas.

La probabilidad que debemos obtener es la siguiente (ambas bolas extraídas sean de diferente color):

· P[(B ∩ N) ∪ (N ∩ B)] = (5/11)·(6/11) +  (6/11)·(5/11) = 60/121

Por lo tanto, la probabilidad de sacar dos bolas de diferente color de la urna dada con reposición es de, aproximadamente 0.495868.