Aqueronte: Proyectiles

miércoles, 9 de julio de 2008

Problema9. Movimiento Parabólico

Problema 9. Una manguera arroja agua desde el punto A de la figura a una velocidad inicial de 12 m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal. Determinar:

a) El punto del tejado en el que cae el chorro del agua, comprobando que pasa sin tocar el borde del tejado.

b) Las velocidades iniciales máximas y mínimas para las cuales el agua cae sobre el tejado.

Figura del Problema:

La trayectoria del agua describe un movimiento parabólico, al no decir nada el enunciado, no se tomará en cuenta agentes externos como por ejemplo la resistencia del aire.

Apartado a)

Hallamos primero el tiempo que emplea el chorro de agua en llegar al tejado, para ello empleamos la ecuación de posición del Eje Y.

$y(t) = y_0 + v_{0_y} \cdot t + \displaystyle{1 \over 2} \cdot g \cdot t^2$

Sustituimos valores:

$6 = 1.2 + 12 \sin60 \cdot t - \displaystyle{1 \over 2} \cdot 9.8 \cdot t^2$

Resolvemos la ecuación de segundo orden respecto del parámetro del tiempo:

$t = \displaystyle{12 \cdot \sin60 \pm \sqrt{(12 \cdot \sin60)^2 - 4 \cdot 4.8 \cdot 4.9} \over 2 \cdot 4.9}$

Se obtienen dos resultados:

$t_1 \approx 0.68s$

$t_2 \approx 1.44s$

Vemos cual es el punto en el cual el chorro del agua cae sobre el tejado, para tal propósito, usamos la ecuación de posición del Eje X.

$x(t) = x_0 + v_{0_x} \cdot t$

Para el valor de tiempo t1 = 0.68s:

$x(0.68) = 0 + 12 \cdot cos60 \cdot 0.68 = 4.08m$

Para el valor de tiempo t2 = 1.44s:

$x(1.44) = 0 + 12 \cdot cos60 \cdot 1.44 = 8.64m$

El valor del tiempo que hace que el agua caiga sobre el tejado es el t2 = 1.44s, ya que supera la distancia mínima del punto inicial del chorro de agua con el piso, que es de 4.5m.

Por lo tanto, al instante de tiempo de 1.44s, el chorro de agua recorre una distancia en la horizontal de 8.64m.

La distancia que separa al punto inicial del chorro de agua con el edificio es de 4.5m, se le resta lo que recorre el chorro de agua en el instante de tiempo t2: 8.64 - 4.5 = 4.14m.

Por ello, el chorro caerá a 4.14m a la derecha del punto B.

Apartado b)

Las velocidades máximas y mínimas dependen del recorrido en horizontal que alcance el chorro de agua.

Para la velocidad MÍNIMA:

La velocidad mínima se da cuando el chorro de agua cae justamente en el punto B, es decir, x = 4.5m.

Obtenemos el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia, para ello, usamos la ecuación de posición del Eje X:

$x(t) = x_0 + v_{0_x} \cdot t$

Sustituimos valores:

$4.5 = 0 + v_0 \cdot cos60 \cdot t$

Despejamos el parámetro del tiempo:

$t = \displaystyle{9 \over v_0}$

Para obtener la velocidad mínima, usamos la ecuación de posición del Eje Y:

$y(t) = y_0 + v_{0_y} \cdot t + \displaystyle{1 \over 2} \cdot g \cdot t^2$

Sustituimos valores:

$6 = 1.2 + v_0 \cdot \sin60 \cdot \displaystyle{9 \over v_0} - \displaystyle{1 \over 2} \cdot 9.8 \cdot \displaystyle{81 \over v_0^2}$

Sustituimos el parámetro de la velocidad inicial:

$v_0 \approx 11.51 \displaystyle{m \over s}$

Es la velocidad mínima para la cual, el agua cae sobre el tejado.

Para la velocidad MÁXIMA:

La velocidad máxima se da cuando el chorro de agua cae justamente en el punto C, es decir, x = 4.5 + 7.5 = 12m.

Obtenemos el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia, para ello, usamos la ecuación de posición del Eje X:

$x(t) = x_0 + v_{0_x} \cdot t$

Sustituimos valores:

$12 = 0 + v_0 \cdot cos60 \cdot t$

Despejamos el parámetro del tiempo:

$t = \displaystyle{24 \over v_0}$

Para obtener la velocidad máxima, usamos la ecuación de posición del Eje Y:

$y(t) = y_0 + v_{0_y} \cdot t + \displaystyle{1 \over 2} \cdot g \cdot t^2$

Sustituimos valores:

$6 = 1.2 + v_0 \cdot \sin60 \cdot \displaystyle{24 \over v_0} - \displaystyle{1 \over 2} \cdot 9.8 \cdot \displaystyle{576 \over v_o^2}$

Se despeja el parámetro de la velocidad inicial:

$v_0 \approx 13.29 \displaystyle{m \over s}$

Este es el valor de la velocidad máxima para la cual el agua cae sobre el tejado.

Problema8. Movimiento Parabólico.

Problema 8. Desde un puente situado a 20m por encima del agua, un hombre lanza una piedra en dirección horizontal. Sabiendo que la piedra entra en contacto con el agua a 30m del punto de su superficie situado directamente bajo el hombre, determinar:

a) La velocidad inicial de la piedra.

b) La distancia a la que la piedra alcanzaría el agua si hubiera sido lanzada con la misma velocidad desde un puente 5m más bajo.

Al no indicar nada el problema, tomamos que no influye fuerzas externas como la resistencia del aire, por lo tanto, tomaremos como un movimiento idealizado.

Apartado a)

Un esquema de la situación sería el siguiente:

Lo que nos piden en este apartado es la velocidad inicial de la piedra. El problema nos indica que inicialmente, la piedra se lanza de forma horizontal, esto quiere decir, que no existe velocidad en la componente del Eje Y.

Nos ayudamos de la ecuación de posición del Eje Y para obtener el tiempo que tarda la piedra en llegar a la superficie del agua.

$y(t) = y_0 + v_{0_y} \cdot t + \displaystyle{1 \over 2} \cdot g \cdot t^2$

Sustituimos valores:

$0 = 20 + 0 \cdot t - \displaystyle{1 \over 2} \cdot 9.8 \cdot t^2$

Despejamos el parámetro del tiempo:

$t = \sqrt{40 \over 9.8} \approx \pm 2.02s$

Al ser una ecuación de segundo orden, nos dará dos soluciones, la correcta físicamente es la positiva, t = 2.02s.

La solución negativa corresponde al punto x = -30 matemáticamente.

Una vez obtenido el tiempo necesario del impacto de la piedra con la superficie, usamos la ecuación de posición del Eje X para obtener la solución de este apartado.

Hay que tener en cuenta que el movimiento respecto al Eje X es un movimiento rectilíneo uniforme.

$x(t) = x_0 + v_{0_x} \cdot t$

Sustituimos el parámetro d ela velocidad, obteniendo la solución a este apartado:

$v_0 = v_{0_x} = \displaystyle{30 - 0 \over 2.02} \approx 14.85 \displaystyle{m \over s}$

Apartado b)

En este apartado, la situación inicial sería la siguiente:

Nos piden la distancia total recorrida por la piedra. Para ello, debemos obtener el tiempo que tarda en realizar dicha distancia.

Empleamos la ecuación de posición del Eje Y:

$y(t) = y_0 + v_{0_y} \cdot t + \displaystyle{1 \over 2} \cdot g \cdot t^2$

Sustituimos valores:

$15 = 0 + 0 \cdot t - \displaystyle{1 \over 2} \cdot 9.8 \cdot t^2$

Despejamos el parámetro del tiempo:

$t = \displaystyle{30 \over 9.8} \approx \pm 1.75s$

Al igual que en el apartado anterior, la solución físicamente correcta es t = 1.75s.

La solución negativa corresponde matemáticamente al punto x = - Xmáx.

Una vez obtenido el tiempo que emplea, usamos la ecuación de posición del Eje X para obtener la distancia total recorrida:

$x(t) = x_0 + v_{0_x} \cdot t$

Se sustituye valores y obtenemos la solución a este apartado:

$x(1.75) = 0 + 14.85 \cdot 1.75 \approx 26m$

miércoles, 9 de julio de 2008

Problema9. Movimiento Parabólico

Problema8. Movimiento Parabólico.

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