Problema 1. MED

Ej1. Al medir cierta variable cuantitativa sobre los individuos de una muestra, se han obtenido los siguientes datos:

14.18	14.65	15.02	15.30	15.74	16.23	16.54	17.42	17.65	17.80
17.95	18.16	18.33	18.59	18.85	19.20	19.43	20.08	20.41	20.62
21.16	21.30	21.49	21.63	21.77	21.91	22.10	22.65	22.82	23.23
23.32	24.09	24.63	24.88	25.61	26.32	26.48	26.76	27.28	27.53

Agrúpelos en 6 clases y hallar sus respectivos representantes (subintervalos). Calcule también las frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.

Lo primero que debemos hacer, es trabajar con datos más flexibles, por lo tanto, ampliamos el intervalo en los límites del mismo.

· a = 14.10
· b = 27.60

Tomamos las clases que nos indica el enunciado: p = 6.

Una vez dispuesto los límites del intervalo, calculamos la longitud:

No hace falta redondear el valor de h ya que es igual al número de cifras decimales que poseen los datos de la muestra, por lo tanto:

· d = 2

En estos momentos, se está listo para realizar los intervalos y las marcas del mismo:

· Primer Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₁ = a = 14.10

Subintervalo Superior: e₂ = a + h - 10^-d = 14.10 + 2.25 - 10^-2 = 16.34

Marca: x₁ = (e₁ + e₂)/2 = (14.10 + 16.34)/2 = 15.22

· Segundo Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₂ = a + h = 14.10 + 2.25 = 16.35

Subintervalo Superior: e₃ = a + 2h - 10^-d = 14.10 + 2·2.25 - 10^-2 = 18.59

Marca: x₂ = (e₂ + e₃)/2 = (16.35 + 18.59)/2 = 17.47

· Tercer Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₃ = a + 2h = 14.10 + 2·2.25 = 18.60

Subintervalo Superior: e₄ = a + 3h - 10^-d = 14.10 + 3·2.25 - 10^-2 = 20.84

Marca: x₃ = (e₃ + e₄)/2 = (18.60 + 20.84)/2 = 19.72

Cuarto Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₄ = a + 3h = 14.10 + 3·2.25 = 20.85

Subintervalo Superior: e₅ = a + 4h - 10^-d = 14.10 + 4·2.25 - 10^-2 = 23.09

Marca: x₄ = (e₄ + e₅)/2 = (20.85 + 23.09)/2 = 21.97

Quinto Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₅ = a + 4h = 14.10 + 4·2.25 = 23.10

Subintervalo Superior: e₆ = a + 5h - 10^-d = 14.10 + 5·2.25 - 10^-2 = 25.34

Marca: x₅ = (e₅ + e₆)/2 = (23.10 + 25.34)/2 = 24.22

Sexto Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₆ = a + 5h = 14.10 + 5·2.25 = 25.35

Subintervalo Superior: e₇ = a + 6h - 10^-d = 14.10 + 6·2.25 - 10^-2 = 27.59

Marca: x6 = (e6 + e₇)/2 = (25.35 + 27.59)/2 = 26.47

La frecuencia absoluta será el número de veces que aparecen datos en los respectivos intervalos calculados anteriormente.

Para ello, empezamos a contar cuantos datos están dentro de cada intervalo de la tabla de datos original del problema, obteniéndose la siguiente tabla:

Subintervalos	Marca	Frecuencia Absoluta, fi
14.10 – 16.34	15.22	6
16.35 – 18.59	17.47	8
18.60 – 20.84	19.72	6
20.85 – 23.09	21.97	9
23.10 – 25.34	24.22	5
25.35 – 27.59	26.47	6

Una vez obtenidas las frecuencias absolutas de los respectivos subintervalos, calculamos la frecuencia relativa:

· h_i = f_i/N

Para ello, se sabe que los datos originales, sin agrupar, hacen un total de N = 40.

Por lo tanto, las frecuencias relativas se muestran en la siguiente tabla:

Subintervalos	Marca	Frecuencia Absoluta, fi	Frecuencia Relativa, hi
14.10 – 16.34	15.22	6	0.15
14.10 – 16.34	15.22	6	0.15
16.35 – 18.59	17.47	8	0.2
18.60 – 20.84	19.72	6	0.15
20.85 – 23.09	21.97	9	0.225
23.10 – 25.34	24.22	5	0.125
25.35 – 27.59	26.47	6	0.15

Las frecuencias absolutas acumuladas se obtienen aplicando la siguiente expresión:

· F_i = Σf_i

Es decir, la frecuencia absoluta acumulada del primer subintervalo será igual a su frecuencia absoluta.

En cambio, la frecuencia absoluta acumulada del segundo subintervalo, será la suma de la frecuencia absoluta del intervalo anterior más la frecuencia absoluta suya.

Y así será la forma de proceder, obteniéndose la siguiente tabla:

Subintervalos	Marca	Frecuencia Absoluta, fi	Frecuencia Relativa, hi	Frecuencia Absoluta Acumulada
14.10–16.34	15.22	6	0.15	6
16.35–18.59	17.47	8	0.2	14
18.60–20.84	19.72	6	0.15	20
20.85–23.09	21.97	9	0.225	29
23.10–25.34	24.22	5	0.125	34
25.35 – 27.59	26.47	6	0.15	40

Y por último, nos piden las frecuencias relativas acumuladas. Para ello, aplicaremos la siguiente expresión:

· H_i = F_i/N

Teniéndose en cuenta que N = 40 (Número total de datos originales del problema)

Por lo tanto, aplicando la anterior expresión, completamos la tabla tal como sigue:

Subintervalos	Marca	Frecuencia Absoluta, fi	Frecuencia Relativa, hi	Frecuencia Absoluta Acumulada	Frecuencia Relativa Acumulada
14.10–16.34	15.22	6	0.15	6	0.15
16.35–18.59	17.47	8	0.2	14	0.35
18.60–20.84	19.72	6	0.15	20	0.5
20.85–23.09	21.97	9	0.225	29	0.725
23.10–25.34	24.22	5	0.125	34	0.85
25.35–27.59	26.47	6	0.15	40	1

Se puede observar, que las clases construidas de la manera que se ha descrito con anterioridad, están separadas unas de otras, es decir, entre una clase y la siguiente hay un espacio que no pertenece a ninguna de las dos, en el que no hay (precisamente se ha construido así) ningún dato.

Vamos a realizar una pequeña modificación para evitar dicha separación entre clases pero manteniendo el hecho de que cada dato pertenezca a una y sólo una clase.

La metodología consiste en dividir por la mitad el espacio entre cada dos clases consecutivas, y tomar así, el punto medio como extremo superior para una clase e inferior para la siguiente.

Dado que la longitud de este espacio entre clases es 10^-d, la mitad será 0.5·10^-d.

Aplicando lo anterior, los extremos de las clases quedan de la siguiente manera:

· Primer Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₁ = a = 14.10

Subintervalo Superior: e₂ = a + h - 0.5·10^-d = 14.10 + 2.25 - 0.5·10^-2 = 16.345

· Segundo Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₂ = a + h = 14.10 + 2.25 = 16.35

Subintervalo Superior: e₃ = a + 2h - 0.5·10^-d = 14.10 + 2·2.25 - 0.5·10^-2 = 18.595

· Tercer Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₃ = a + 2h = 14.10 + 2·2.25 = 18.60

Subintervalo Superior: e₄ = a + 3h - 0.5·10^-d = 14.10 + 3·2.25 - 0.5·10^-2 = 20.845

Cuarto Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₄ = a + 3h = 14.10 + 3·2.25 = 20.85

Subintervalo Superior: e₅ = a + 4h - 0.5·10^-d = 14.10 + 4·2.25 - 0.5·10^-2 = 23.095

Quinto Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₅ = a + 4h = 14.10 + 4·2.25 = 23.10

Subintervalo Superior: e₆ = a + 5h - 0.5·10^-d = 14.10 + 5·2.25 - 0.5·10^-2 = 25.345

Sexto Intervalo.

Subintervalo Inferior: e₆ = a + 5h = 14.10 + 5·2.25 = 25.35

Subintervalo Superior: e₇ = a + 6h - 0.5·10^-d = 14.10 + 6·2.25 - 0.5·10^-2 = 27.595

Por su puesto, las marcas siguen siendo de igual valor, por lo tanto, la tabla definitiva queda de la siguiente manera:

Subintervalos	Marca
14.095 – 16.345	15.22
16.345 – 18.595	17.47
18.595 – 20.845	19.72
20.845 – 23.095	21.97
23.095 – 25.345	24.22
25.345 – 27.595	26.47