Ej10. Se dispone de cuatro cajas que contienen cada una de ellas 10 bolas, las cuales pueden ser blancas o negras. La composición de cada caja es la siguiente:
· C1: 5 Bolas BLANCAS y 5 bolas NEGRAS
· C2: 6 Bolas BLANCAS y 4 bolas NEGRAS
· C3: 7 Bolas BLANCAS y 3 bolas NEGRAS
· C4: 3 Bolas BLANCAS y 7 bolas NEGRAS
Elegimos una caja al azar y sacamos de ella 4 bolas sin reemplazamiento, resultando que son 3 blancas y 1 negra. ¿Cuál es la probabilidad de que esa caja sea la C1?
La forma de abordar este problema será la siguiente:
- Se hallará las posibles combinaciones posibles de 10 bolas hacer grupos de cuatro bolas.
- Se calculará la probabilidad de obtener 3 bolas blancas y 1 negra de cada caja.
- Por último, se resolverá el problema.
Bien, empecemos por el principio, para calcular las posibles combinaciones de agrupar 4 bolas de 10, se usa la expresión combinatoria:
Siendo n = 10 y x = 4.
· 10C4 = 210
Esto quiere decir, que existen 210 posibles combinaciones de unir en grupos de cuatro bolas, de las diez posibles.
Ahora, se calculará la probabilidad de sacar 3 bolas blancas y 1 negra de cada caja.
· Caja 1
En la caja 1 se tiene 5 bolas blancas y 5 bolas negras. Definimos el suceso:
· A Ξ “Obtener 3 bolas blancas y 1 negra”
Por lo tanto, para saber las posibles combinaciones de obtener 3 bolas blancas de las 5 existentes en esta caja, se usa la expresión combinacional nuevamente, obteniéndose:
· 5C3 = 10
Esto quiere decir, que existen 10 posibles combinaciones de unir en grupos de tres bolas blancas, de las cinco posibles.
Realizamos lo mismo para la bola negra, teniéndose en cuenta, que esta vez, sólo es necesario una única bola negra:
· 5C1 = 5
Al sólo tener que seleccionarse una bola, sus posibles combinaciones son cada bola negra individualmente.
Los casos posibles del suceso A, es que el grupo de cuatro bolas, lo formen 3 blancas y 1 negra, por lo tanto, los casos posibles son:
· 5C3·5C1 = 10·5 = 50
Es decir, existen 50 casos posibles de combinaciones de un grupo de cuatro bolas que sean 3 blancas y 1 negra.
Los casos totales, se obtuvo al principio y son de 210 posibles combinaciones de realizar un grupo de cuatro bolas de un total de diez.
Por lo tanto, la probabilidad del suceso A, que el grupo de cuatro bolas que sean 3 blancas y 1 negra, son los casos posibles entre los casos totales:
P(A) = 50/210 = 5/21
· Caja 2
En la caja 2 se tiene 6 bolas blancas y 4 bolas negras. Definimos el suceso:
· A Ξ “Obtener 3 bolas blancas y 1 negra”
Por lo tanto, para saber las posibles combinaciones de obtener 3 bolas blancas de las 6 existentes en esta caja, se usa la expresión combinacional, obteniéndose:
· 6C3 = 20
Esto quiere decir, que existen 20 posibles combinaciones de unir en grupos de tres bolas blancas, de las seis posibles.
Realizamos lo mismo para la bola negra, teniéndose en cuenta, que esta vez, sólo es necesario una única bola negra:
· 4C1 = 4
Al sólo tener que seleccionarse una bola, sus posibles combinaciones son cada bola negra individualmente.
Los casos posibles del suceso A, es que el grupo de cuatro bolas, lo formen 3 blancas y 1 negra, por lo tanto, los casos posibles son:
· 6C3·4C1 = 20·4 = 80
Es decir, existen 80 casos posibles de combinaciones de un grupo de cuatro bolas que sean 3 blancas y 1 negra.
Los casos totales, se obtuvo al principio y son de 210 posibles combinaciones de realizar un grupo de cuatro bolas de un total de diez.
Por lo tanto, la probabilidad del suceso A, que el grupo de cuatro bolas que sean 3 blancas y 1 negra, son los casos posibles entre los casos totales:
P(A) = 80/210 = 8/21
· Caja 3
En la caja 3 se tiene 7 bolas blancas y 3 bolas negras. Definimos el suceso:
· A Ξ “Obtener 3 bolas blancas y 1 negra”
Por lo tanto, para saber las posibles combinaciones de obtener 3 bolas blancas de las 7 existentes en esta caja, se usa la expresión combinacional, obteniéndose:
· 7C3 = 35
Esto quiere decir, que existen 35 posibles combinaciones de unir en grupos de tres bolas blancas, de las siete posibles.
Realizamos lo mismo para la bola negra, teniéndose en cuenta, que esta vez, sólo es necesario una única bola negra:
· 3C1 = 3
Al sólo tener que seleccionarse una bola, sus posibles combinaciones son cada bola negra individualmente.
Los casos posibles del suceso A, es que el grupo de cuatro bolas, lo formen 3 blancas y 1 negra, por lo tanto, los casos posibles son:
· 7C3·3C1 = 35·3 = 105
Es decir, existen 105 casos posibles de combinaciones de un grupo de cuatro bolas que sean 3 blancas y 1 negra.
Los casos totales, se obtuvo al principio y son de 210 posibles combinaciones de realizar un grupo de cuatro bolas de un total de diez.
Por lo tanto, la probabilidad del suceso A, que el grupo de cuatro bolas que sean 3 blancas y 1 negra, son los casos posibles entre los casos totales:
P(A) = 105/210 = 1/2
· Caja 4
En la caja 4 se tiene 3 bolas blancas y 7 bolas negras. Definimos el suceso:
· A Ξ “Obtener 3 bolas blancas y 1 negra”
Por lo tanto, para saber las posibles combinaciones de obtener 3 bolas blancas de las 3 existentes en esta caja, se usa la expresión combinacional, obteniéndose:
· 3C3 = 1
Esto quiere decir, que existen una única posible combinación de unir en grupos de tres bolas blancas, de las tres posibles, es evidente.
Realizamos lo mismo para la bola negra, teniéndose en cuenta, que esta vez, sólo es necesario una única bola negra:
· 7C1 = 7
Al sólo tener que seleccionarse una bola, sus posibles combinaciones son cada bola negra individualmente.
Los casos posibles del suceso A, es que el grupo de cuatro bolas, lo formen 3 blancas y 1 negra, por lo tanto, los casos posibles son:
· 3C3·7C1 = 1·7 = 7
Es decir, existen 7 casos posibles de combinaciones de un grupo de cuatro bolas que sean 3 blancas y 1 negra.
Los casos totales, se obtuvo al principio y son de 210 posibles combinaciones de realizar un grupo de cuatro bolas de un total de diez.
Por lo tanto, la probabilidad del suceso A, que el grupo de cuatro bolas que sean 3 blancas y 1 negra, son los casos posibles entre los casos totales:
P(A) = 7/210 = 1/30
Una vez obtenidas todas las probabilidades, en cada caja, que se obtenga tres bolas blancas y una bola negra de cuatro bolas que se saquen al azar, pasamos a resolver lo que nos pide el enunciado.
La probabilidad de escoger una caja al azar y ésta de obtener de cuatro bolas tres blancas y una negra, es la probabilidad de escoger la caja 1 o la caja 2 o la caja 3 o la caja 4, es decir, definimos el suceso.
· A Ξ “Escoger una caja al azar y obtener, 3 bolas blancas y 1 negra al extraer 4 bolas”
Las cajas son mutuamente excluyentes, ya que no tienen resultados en común, sustituyendo los valores obtenidos para cada caja anteriormente y teniendo en cuenta que la probabilidad de seleccionar cualquier caja es la misma y de 1/4, obtenemos que:
P(A) = 1/4·[5/21 + 8/21 + 1/2 + 1/30] = 121/420
Esto quiere decir que, la probabilidad de escoger cualquier caja al azar y posteriormente sacar cuatro bolas, de las cuales tres sean blancas y una negra, es de 121/420.
El enunciado, nos pide hallar la probabilidad de que al sacar cuatro bolas, tres sean blancas y una negra sean de la caja 1. Se define el suceso:
· B Ξ “Escoger la caja 1 y obtener 3 bolas blancas y 1 negra al extraer 4 bolas”
Se sabe, ya que se ha obtenido anteriormente, que la probabilidad de que al sacar cuatro bolas, tres sean blancas y una negra, de la caja 1 es de 5/21.
Por lo tanto, la probabilidad de que se obtengan dichas bolas de la caja 1 es su probabilidad entre todos los casos posibles:
P(B) = [5/21]/[121/420] = 100/121
7 comentarios:
donde pone: 'sustituyendo los valores obtenidos para cada caja anteriormente, obtenemos que: P(A)=5/8....' ese 5/8 es 5/21!!! de todas formas el resultado esta bien
Buenas:
Exacto, fue un error que ya ha sido subsanado.
Gracias por el apunte y tu comentario.
disculpe para hallar el numero de casos favorables para la caja cuatro no seria 6 * 7?? creo que para hallar la combinacion de 3 bolas blancas seria 6 no 1. No digo que sea cierto pero creo que si o entonces habre fallado en los calculos.
Gracias nuevamenete por esta labor tan importante.
Buenas:
En la caja 4 hay 3 bolas blancas y 7 negras.
La manera de obtener 3 bolas blancas de la caja 4 es solamente una, y es escoger las tres bolas existentes.
Dicho de otra manera, si de una caja que hay 3 bolas blancas, yo debo seleccionar tres bolas blancas, sólo existe una manera, y es obtener las tres existentes en la caja.
Espero haberme explicado, un saludo.
En la ultima probabilidad de A
p(a) sale P(a)=121/105??
no debería estar entre 0 y 1?
Buenas, ¿la probabilidad que calculamos no seria la de que sea la caja 1 condicionada al resultado que ha salido?
teniendo que calcular la probabilidad entre todas las cajas de que sea el resultado y siendo la probabilidad de que salga cualquier caja 1/4
Buenas:
Había una errata en la resolución del problema tal y como apuntaba un comentario atrás, la probabilidad siempre debe estar comprendida entre 0 y 1.
Se me había pasado el multiplicar por la probabilidad de escoger cada caja, en este caso todas tienen la misma probabilidad de ser escogidas y ésta es de 1/4 (hay cuatro cajas).
Lo que debemos hallar es la probabilidad de que al obtener 3 bolas blancas y 1 negra, ésta sea de la caja 1.
Bien, pero para atacar o abordar la resolución del problema, debemos fijarnos en que contiene cada caja y por consiguiente, la metodología más fácil (o es lo que yo pienso) de empezar a resolver el problema es ver, que probabilidad se obtiene de cada caja con la secuencia de bolas que nos indica el enunciado.
Una vez tenemos dichas probabilidades de cada caja, obtenemos la probabilidad total, es decir, la probabilidad de que se de dicha secuencia de bolas que nos indica el enunciado del problema, con todas las cajas existentes, teniendo en cuenta la probabilidad de seleccionar cada caja (ésto último es la errata que contenía la resolución del problema, ya está subsanada gracias al apunte del comentario anterior.)
Una vez tenemos la probabilidad de secuencia de bolas y la probabilidad total de dicha secuencia de bolas en todas las cajas disponibles, hallamos la solución al problema.
En este caso, como nos piden en especial, el de la caja 1, pues teniendo su probabilidad de la secuencia de bolas mencionada en el enunciado del problema y teniendo la probabilidad total de los casos de dicha secuencia de bolas respecto a todas las cajas posibles, es fácil obtenerlo, tal y como se indica en la resolución del problema.
Este es un problema un tanto peculiar (y bastante usado en los exámenes), es por ello que antes de resolverlo, he mencionado la manera de actuar.
Un saludo y gracias por el apunte de corrección.
Publicar un comentario