Ej13. Una prueba para diagnosticar cierta enfermedad se aplica en una ciudad en la que la probabilidad que tienen sus habitantes de padecerla es de 0.005. La probabilidad de que la prueba de positivo cuando se aplica a una persona que tiene enfermedad es de 0.95, y la probabilidad de que resulte negativo cuando es aplicado a una persona que no la sufre es 0.95.
Calcule la probabilidad de que una persona a la que la prueba ha dado positivo, padezca la enfermedad.
Definimos los sucesos:
· A Ξ “Padece la enfermedad”
· B Ξ “Da positivo en la prueba”
La probabilidad del suceso A, según el enunciado del problema, es de 0.005. La probabilidad de que la prueba de positivo dado que una persona tenga la enfermedad es una probabilidad condicional que nos da el enunciado, de valor P(B|A) = 0.95.
Es una probabilidad condicional que nos aporta el enunciado del problema.
Una vez agrupado los datos que nos ofrece el problema de partida, pasamos a resolver lo que nos piden, no es más que hallar la probabilidad de que a una persona a la que la prueba ha dado positivo, padezca la enfermedad.
Esto es un típico caso para resolverlo por el Teorema de Bayes. Para resolverlo, primero debemos calcular todos los casos posibles que de positivo, por lo tanto, hay que hallar la probabilidad del suceso B: Que la prueba de positivo si el individuo está enfermo o que la prueba de positivo si el individuo no está enfermo.
No es más que, hallar la probabilidad total. Como la probabilidad de que la prueba de positivo si el individuo está enfermo es de 0.95, la probabilidad de que la prueba de positivo si el individuo no está enfermo es de 0.05.
Sustituimos los valores obtenidos en la expresión de la probabilidad total para obtener la probabilidad total de que de positivo la prueba:
Esto quiere decir, que la probabilidad de que al realizar la prueba ésta de positiva es de 0.0545.
Una vez obtenida la probabilidad del suceso B, pasamos a resolver el problema usando el Teorema de Bayes:
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