Problema28. Probabilidad.

Ej28. Una caja contiene ocho monedas normales y dos cargadas cuya probabilidad de cara es 0.7. Elegimos al azar una moneda, y si al lanzarla sale cara, la devolvemos a la caja y extraemos de nuevo al azar una segunda moneda y la lanzamos. Si sale cruz, también extraemos aleatoriamente una segunda moneda pero sin devolver la primera, y lanzamos esta segunda moneda.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la primera?

b) Si en la primera se ha obtenido cara, ¿cuál es la probabilidad de que sea una de las monedas cargadas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la primera y cruz en la segunda?

Se tiene 8 monedas normales y 2 cargadas, por lo tanto, se tienen en total 10 monedas. Se define los sucesos:

· M₁ Ξ 'Moneda normal'

· M₂ Ξ 'Moneda cargada'

· C Ξ 'Obtener cara'

La probabilidad de escoger una moneda normal es de 8/10, y la probabilidad de escoger una moneda cargada es de 2/10.

Ambos sucesos, están compuestos por los elementos:

M₁ ó M₂ = {C, X}

Donde:

· C: Cara.

· X: Cruz.

En la moneda normal, la probabilidad de salir cara o cruz son iguales, por lo tanto es de ½. En cambio, en la moneda cargada, la probabilidad de salir cara, según dato del enunciado del problema, es de 0.7.

Apartado a)

En este apartado, nos pide obtener cara en la primera moneda. Esto no es más que, la probabilidad de obtener cara en la moneda normal o en la moneda cargada.

Se define el suceso:

· A Ξ 'Obtener cara en la primera moneda'

Por lo tanto, usando la expresión de la probabilidad total:

P(C) = P(C|M₁)·P(M₁) + P(C|M₂)·P(M₂) = (1/2)·(8/10) + 0.7·(2/10) = 0.54

Apartado b)

Se emplea el Teorema de Bayes:

Apartado c)

Se define el suceso:

· B Ξ 'Obtener cara en la primera y cruz en la segunda'

Se emplea la expresión de la probabilidad total:

P(B) = [P(C|M₁)·P(M₁) + P(C|M₂)·P(M₂)]·[P(X|M₁)·P(M₁) + P(X|M₂)·P(M₂)]

Se sustituye valores:

P(B) = [(1/2)·(8/10) + 0.7·(2/10)]·[(1-1/2)·(8/10) + (1-0.7)·(2/10)] = 621/2500 = 0.2484