Problema3. Probabilidad.

Ej3. Consideramos el espacio muestral de un experimento aleatorio en el que todos los sucesos elementales son igualmente probables:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Y los sucesos S₁ = {1, 2, 3, 4} y S₂ = {1, 3, 5, 7, 9}.

Calcular:

a)

b)

c) P(S₁ U S₂)

d) P(S₁ ∩ S₂)

e) P(S₁|S₂)

f) P(S₂|S₁)

El enunciado nos indica que todos los elementos del espacio muestral son igualmente probables, por lo que la probabilidad de cada elemento vendrá dada por la expresión:

P(elemento) = k/N

Siendo k el elemento del espacio muestral y N el número total de elementos del espacio muestral.

En este caso, el número total de elementos del espacio muestral es N = 12.

Por lo tanto la probabilidad de cada elemento del espacio muestral es:

P(elemento) = 1/12

Con las consideraciones anteriores, pasamos a resolver los distintos apartados.

Apartado a)

La probabilidad de un suceso, es la suma de probabilidades de los elementos de dicho suceso.

P(S₁) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 4·1/12 = 4/12 = 1/3

En el apartado nos pide el complementario. Se usa la propiedad del complementario:

Apartado b)

Se sigue el mismo razonamiento que en el Apartado a) pero para el suceso S₂.

Apartado c)

En este apartado nos pide la probabilidad de unión entre ambos sucesos, es decir, los elementos que estén en el suceso S₁ o el el suceso S₂ o en ambos.

Esto queda de tal manera:

P(S₁ U S₂) = P(S₁) + P(S₂) - P(S₁∩S₂)

La probabilidad del elemento intersección corresponde a los siguientes elementos:

P(S₁∩S₂) = P(1) + P(3) = 1/12 + 1/12 = 1/6

Sustituimos valores para resolver este apartado:

P(S₁ U S₂) = P(S₁) + P(S₂) - P(S₁∩S₂) = 4/12 + 5/12 - 1/6 = 7/12

Apartado d)

Este apartado nos piden resolver la probabilidad de la intersección entre los dos sucesos. Es decir, los elementos que estén en el suceso S₁ y también estén en el suceso S₂.

Los elementos son: 1 y 3, ésta probabilidad ya se ha resuelto en el apartado anterior:

P(S₁∩S₂) = P(1) + P(3) = 1/12 + 1/12 = 1/6

Apartado e)

Probabilidad condicional:

Sustituimos considerando los resultados de los apartados anteriores, obteniendo la solución de este apartado:

Apartado f)

Probabilidad condicional, similar al apartado anterior:

Sustituimos considerando los resultados de los apartados anteriores, obteniendo la solución de este apartado: