Problema7. Probabilidad.

Ej7. Halle la probabilidad de obtener uno de los tres resultados 7, 11 o 12 al lanzar dos dados.

El experimento es lanzar dos dados.

Definimos los sucesos:

A Ξ “Suma de ambos sea 7”

B Ξ “Suma de ambos sea 11”

C Ξ “Suma de ambos sea 12”

Una vez definidos los sucesos, el problema nos pide la unión de los tres sucesos.

· P(A U B U C)

Una cosa a tener en cuenta, es obtener los elementos del espacio muestral del experimento, para ello, se analizará cada dado por separado.

El primer dado, posee un conjunto muestral de:

Ω₁ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Por lo tanto, la probabilidad de que al lanzar el primer dado sea cualquier valor dentro de los posibles marcados por su espacio muestral, es de 1/6.

Para el segundo dado, el razonamiento es similar, obteniéndose también, una probabilidad de salir cualquier valor dentro de su espacio muestral de 1/6.

Esto quiere decir qué, la probabilidad total será la probabilidad de sacar un elemento del dado uno y la probabilidad de sacar un elemento del dado dos:

P(Dado₁ ∩ Dado₂) = P(Dado₁)·P(Dado₂) = 1/6·1/6 = 1/36

Al ser los dados independientes uno del otro, es decir, el resultado de un dado no interfiere en el resultado del segundo dado.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener cualquier par de datos, un dato de cada dado, es de 1/36.

Lo que se hará, es calcular la probabilidad de cada suceso por separado para posteriormente obtener la unión entre ellos.

· Suceso A

Este suceso define que al tirar los dos dados, la suma de ambos resultados sea 7.

Al haber dos dados independientes, debemos tener en cuenta el orden de resultados obtenidos por ambos dados.

Por lo que el subconjunto del suceso A es:

A = {1+6, 2+5, 3+4, 6+1, 5+2, 4+3}

Siendo el primer término el correspondiente resultado del dado 1, y el segundo término, el correspondiente al dado 2.

Esto hace que el suceso A, tenga 6 elementos. La probabilidad del suceso A es la suma de probabilidades que lo forma:

P(A) = 6·1/36 = 1/6

· Suceso B

Este suceso define que al tirar los dos dados, la suma de ambos resultados sea 11.

La metodología es igual que para el suceso A.

Al haber dos dados independientes, debemos tener en cuenta el orden de resultados obtenidos por ambos dados.

Por lo que el subconjunto del suceso B es:

B = {5+6, 6+5}

Siendo el primer término el correspondiente resultado del dado 1, y el segundo término, el correspondiente al dado 2.

Esto hace que el suceso B, tenga 2 elementos. La probabilidad del suceso B es la suma de probabilidades que lo forma:

P(B) = 2·1/36 = 1/18

· Suceso C

Este suceso define que al tirar los dos dados, la suma de ambos resultados sea 12.

La metodología es igual que para los anteriores sucesos.

Al haber dos dados independientes, debemos tener en cuenta el orden de resultados obtenidos por ambos dados.

Por lo que el subconjunto del suceso C es:

C = {6+6}

Siendo el primer término el correspondiente resultado del dado 1, y el segundo término, el correspondiente al dado 2.

Esto hace que el suceso C, tenga sólo 1 elemento. La probabilidad del suceso C es la suma de probabilidades que lo forma:

P(C) = 1·1/36 = 1/36

Una vez obtenidas las probabilidades de los sucesos A, B y C, y teniendo en cuenta, que los tres sucesos son mutuamente excluyentes, ya que no hay relación entre ellos, se obtiene la solución del problema:

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1/4 = 0.25

Por lo tanto, la probabilidad de que al lanzar dos dados al azar y obtener como resultado un 7 o un 11 o un 12, es de ¼.