Problema13: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Ej13. El administrador de un lote de automóviles, prueba dos marcas de llantas radiales. Para ello, asigna, al azar, una llanta de cada marca a las dos ruedas posteriores de ocho automóviles, y luego corre los automóviles hasta que las llantas se desgastan. Los datos obtenidos, en kilómetros, son los siguientes:

	1	2	3	4	5	6	7	8
marca 1	36925.	45300.	36240.	32100.	37210.	48360.	38200.	33500
marca 2	34318	42280	35500	31950	38015	47800	37810	33215

Encuentre un intervalo de confianza del 99%, para la diferencia del número de kilómetros medio de duración. Con base a estos cálculos, ¿qué llanta dura más?


Este problema lo podemos resolver de dos formas, la primera: Considerándose las muestras pareadas, y la segunda: Como muestras independientes.

Lo resolveremos de ambas formas y veremos las diferencias de ambos métodos.


Solución mediante Muestras Pareadas.

Para ello, debemos restar los datos de las muestras dadas una a una, obteniéndose la siguiente tabla:

	1	2	3	4	5	6	7	8
Diferencia	2607	3020	740	150	.-805	.560	390	285

Calculamos los datos estadísticos básicos.



Para obtener la media:

Por lo tanto:

Para obtener la cuasi varianza:

Por lo tanto, la cuasi desviación estándar:

En este problema nos pide realizar un intervalo de confianza para la diferencia de medias con varianza desconocida y tamaño de la muestra es menor que 30:

Para una confianza del 99%, obtenemos α:

100(1 - α) = 99

Despejamos el parámetro que nos interesa: α = 0.01. El siguiente paso es obtener los valores de:

· t_α/2,n-1 = t_0.01/2,8-1=t_0.005,7

Buscamos el valor en la tabla t-Student, y obtenemos: 3.4995.


Por lo tanto, ya disponemos de todos los datos necesarios para realizar un intervalo de confianza de la diferencia de medias con un 99%, simplemente, sustituimos valores:

El intervalo de confianza bilateral al 99% es:

[-727.731476, 2464.481475]

Al contener en cero en el intervalo de confianza, no existen evidencias de que significativas para decir que una llanta dure más que otra.


Solución mediante Diferencias de Medias.

Nos encontramos con un problema, las varianzas son desconocidas de ambas muestras pero no sabemos si son iguales o no y con medias desconocidas igualmente. Esto es importante ya que dependiendo de dicho matiz, cambia la forma de resolver el problema.


Por lo tanto, lo primero que debemos hacer, es una prueba de hipótesis para dictaminar si ambas varianzas desconocidas son iguales o no.


Tomo como hipótesis nula que ambas varianzas son iguales, siendo la hipótesis alternativa, que no lo son:

Cuyo estadístico es:

Pero antes, debemos obtener la cuasi desviación típica de cada muestra:

Para obtener la media:

Por lo tanto:

·

·


Por lo tanto, para cada marca de neumáticos:

· S_C1 ≈ 5590.278831

· S_C2 ≈ 5243.908112


Ya disponemos de los datos necesarios para obtener el valor del estadístico:

Para ver si aceptamos la hipótesis nula, debemos calcular la región crítica y evaluar los resultados obtenidos. La región crítica para este estudio es:

F ≥ F_{α/2,n1 - 1, n2 - 1} , F ≤ F_{1-α/2, n1 - 1, n2 - 1}

Para una confianza del 99%, obtenemos α:

100(1 - α) = 99

Despejamos el parámetro que nos interesa: α = 0.01. Por lo tanto:

F ≥ F_{0.005, 7, 7} , F ≤ F_{0.995, 7, 7}

Hay que tener en cuenta que:

Buscamos en la tabla de F de Snedecor:

· F_{0.005, 7, 7} = 8.89
· F_{0.995, 7, 7} = 1/F_{0.005, 7, 7} = 1/8.89 = 100/889 ≈ 0.112486


Para aceptar la hipótesis nula, el estadístico calculado (1.136467) debe estar dentro del intervalo:

(0.112486, 8.89)

Y nuestro estadístico, está dentro de dicho intervalo, por lo que aceptamos la Hipótesis nula de que ambas varianzas son iguales.


Una vez que sabemos que la varianza de ambas muestras son iguales, pasamos a confeccionar el intervalo de confianza para la diferencia de medias.

Para una confianza del 99%, obtenemos α:

100(1 - α) = 99

Despejamos el parámetro que nos interesa: α = 0.01. El siguiente paso es obtener los valores de:

· t_α/2,n1+n2-2 = t_0.01/2,8+8-2 = t_{0.005, 14}

Buscamos el valor en la tabla t-Student, y obtenemos: 2.9768.


Necesitamos obtener el valor de Sp:

Tenemos todos los datos necesarios para obtener su valor, por lo tanto sustituimos valores:

Ya disponemos todos los datos necesarios para obtener el intervalo bilateral de confianza al 99% de la diferencia de medias con varianzas desconocidas e iguales:

El intervalo de confianza bilateral al 99% es:

[-7198.546331, 8935.296331]

Al contener el cero en el intervalo de confianza, no existen evidencias significativas para decir que una llanta dure más que otra.

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Como hemos podido observar, ambas formas de resolver el problema dado dan el mismo resultado, eso sí, el segundo método es mucho más meticuloso en su procedimiento que el primero, considerando pruebas pareadas.