Problema19: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Ej19. El contenido, en azúcar, del almíbar de los melocotones enlatados tiene una distribución normal, donde se cree que la varianza σ² = 18 mg². Probar la hipótesis H0: σ²= 18 contra H1: σ² ≠ 18, si al tomar una muestra de 10 latas, la cuasi desviación estándar muestral es 4.8 mg, con un nivel de significación 0.05.

¿Cuál es el p-valor de esta prueba?


Realizamos una recopilación de los datos del problema:

· Tamaño de la muestra: n = 10.
· Cuasi desviación estándar: Sc = 4.8.
· Nivel de significación: α = 0.05.

La prueba de hipótesis que plantea el enunciado del problema es:

Es un contraste de varianza con media desconocida y sigue una distribución normal, el estadístico es:

Aparte de obtener el p-valor, calcularemos también, la región crítica.

Antes que nada, obtenemos el valor del estadístico:

Para comprobar si aceptamos o rechazamos la hipótesis nula, empleamos la región crítica, que para esta prueba es:

X² ≤ - X²_{1-α/2, n -1}, X² ≥ X²_{α/2, n -1}

Para un nivel de significación de: α = 0.05, tenemos, en la tabla ji-Cuadrada:

· X²_{1-α/2, n -1} = X²_{1-0.05/2, 10 -1} = X²_{0.975, 9} = 2.70

· X²_{α/2, n -1} = X²_{0.05/2, 10 -1} = X²_{0.025, 9} = 19.02

Comprobamos el valor del estadístico con la región crítica:

El valor del estadístico, 11.52 está dentro del intervalo que compone la región crítica, (-2.70, 19.02), por lo tanto, aceptamos la hipótesis nula.

Ahora, vamos a obtener el p-valor de la prueba, para dicho cálculo, debemos tener claro en que condiciones estamos, en nuestro caso, existen dos regiones críticas, por lo tanto, tenemos dos colas de probabilidad, el p-valor en estas condiciones, se calcula cómo:

p-valor = 2 · P(X² > |x²|) = 2 · P(X² > 11.52)

Buscamos en las tablas de la ji-Cuadrada con 9 grados de libertad, no encontramos el valor exacto, pero está dentro del los valores: 10.66 < . 11.52 < . 12.24, cuya área de cola corresponde a: 0.2 < . α < . 0.3.

Teniendo en cuenta que existen dos áreas de cola, el p-valor estará comprendido entre los valores:

0.4 < . p-valor < . 0.6

Podemos dar un valor aproximado del p-valor realizando una interpolación lineal:

..0.300.......X.......0.200
10.66.......11.52....12.24

De donde:

0.300 - 0.200.-> 10.66 - 12.24
0.300 - X.-> 10.66 - 11.52

Calculamos:

Por lo tanto, el p-valor es:

p-valor = 2 · P(X² > 11.52) = 2 · 0.24557 = 0.49114

Conclusión, el nivel de significación, α = 0.05, es más pequeño que el p-valor, por lo tanto, aceptamos la hipótesis nula.

Aceptar la hipótesis nula quiere decir que, la varianza del contenido de azúcar del almibar de los melocotones enlatados de la población del problema, existen evidencias significativas de que su varianza sea de 18 mg².