Problema9: Análisis de Regresión

Ej9. Dada la siguiente ecuación:

y = 10^a+b·logx

Ajusta por el método de los mínimos cuadrados lineales, dado los siguientes datos:

x.	10	40	100	400	1000
y	39.8	45.0	48.4	53.0	56.3

El modelo que nos ofrece el problema no es un modelo lineal simple, por lo que tenemos que adecuarlo, en este caso, al estar presente la base diez, actuamos mediante logaritmo en base 10:

Log(y) = Log(10^a+b·logx) = a + b·log(x)

Cambio de Variable:
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
· y* = Log(y)
· x* = Log(x)

El modelo ajustado, con el cambio de variable, es:

y* = b₀ + b₁·x*
Y la tabla quedará tal y como sigue:

x**.	log(10)	log(40)	log(100)	log(400)	log(1000)
y*	log(39.8).	log(45.0).	log(48.4).	log(53.0).	log(56.3)

Ahora, podemos hacer una recopilación de datos que se extraen de la tabla una vez realizado el cambio de variable.

· n = 5

·

·

·

·

·

Para calcular la pendiente, la expresión matemática es:

Para obtener su valor, necesitamos saber los valores de Sxy y Sxx:

·

·

Por lo tanto, la pendiente es:

Una vez obtenida la pendiente, podemos tener el valor del estimador para la ordenada:

Sustituimos valores:

Por lo tanto, la ecuación de regresión ajustada es:

y*(x) = 1.530306 + 0.074597·x

Por lo tanto, el modelo no lineal quedará:

y = 10^{1.530306+0.074597·log(x)}